Векторная алгебра.

БИЛЕТ.

1 ВОПРОС. Числовой матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

 

2 ВОПРОС. Правила линейных операций:

1.Пусть = и = , =1,2,…, , =1,2,…, – матрицы размера . Матрица = также размера называется суммой матриц и , если , =1,2,…, , =1,2,…,

ПРИМЕР. = , = =

2. Произведением матрицы = размера на число называется матрица = того же размера, элементы которой , =1,2,…, , k=1,2,…, .

 

ПРИМЕР. = =

3. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

4. Матрица называется противоположной для и обозначается . Очевидно, что для любой матрицы А.

 

5. Разностью матриц и одного размера называется сумма и обозначается .

6. Результат конечного числа линейных операций над матрицами называется их линейной комбинацией.

ПРИМЕР. Пусть = , = .

Матрица = – линейная

комбинация матриц и с коэффициентами 2 и 4.

Транспонированной матрицей для матрицы размера называется матрица размера , полученная из заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами.

То есть, если = , то , =1,2,…, , =1,2,…, .

 

ПРИМЕР.

= ; = =

3х2 2х3 3х3 3х3

Пусть = – матрица размера , = – матрица размера . Произведение этих матриц – матрица = размера , элементы которой вычисляются по формуле:

, =1,2,…, , =1,2,…, ,

то есть элемент -й строки и -го столбца матрицы равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы .

 

ПРИМЕР.

= , =

2х3 3х1 2х3 3х1 2х1

Произведение – не существует.

3х1 2х3

БИЛЕТ.

1 ВОПРОС. , даже если оба произведения определены.

 

ПРИМЕР. , , хотя

2 ВОПРОС. Матрицы и называются перестановочными, если , в противном случае и называются неперестановочными.

 

Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера.

 

ПРИМЕР.

матрицы и перестановочные.

, то есть ,

значит, и – перестановочные матрицы.

 

Вообще единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка, и для любой матрицы . Это свойство матрицы объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении чисел таким свойством обладает число 1.

Если соответствующие произведения определены, то:

2.

3. ,

4.

5.

 

ПРИМЕР.

,

2х2 2х1 2х1 1х2

1х2 2х2 1х2

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной.

 

ПРИМЕР.

БИЛЕТ.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так:

(1.1)

 

Такой определитель называется определителем второго порядка и может

обозначаться по-другому: или .

Определителем третьего порядка называется число, соответствующее квадратной матрице , которое вычисляется по правилу:

 

(1.2)

 

Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так:

 

ПРИМЕР. ;

Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать:

Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных.

Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что

(1.3)

То есть при вычислении определителя третьего порядка используются определители второго порядка, причем – определитель матрицы, полученный из вычеркиванием элемента (точнее, первой строки и первого столбца, на пересечении которых стоит ), – вычеркиванием элемента , – элемента .

БИЛЕТ.

-

БИЛЕТ.

1.ВОПРОС. Рангом матрицы А называется такое целое число , что среди ее миноров -го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры порядка () равны нулю.

2 ВОПРОС. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны нулю, то есть если матрица нулевая.

 

 

ПРИМЕР.

Матрица , очевидно, имеет ненулевой минор второго порядка, например, , но все ее миноры третьего порядка – их всего 16 – равны нулю, поэтому Для того чтобы обнаружить этот факт без трудоемких вычислений, введем понятие элементарных преобразований.

 

БИЛЕТ.

1 ВОПРОС. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия:

1) умножение любой строки на число ;

2) перемена местами двух строк;

3) прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число ;

4) отбрасывание нулевой строки;

5) отбрасывание одной из двух пропорциональных строк;

6) те же преобразования со столбцами.

 

2 ВОПРОС. ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства).

Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2.

.

 

При переходе от к и использовались элементарные преобразования 3), 5), 6): первую строку прибавили ко второй и четвертой, затем отбросили две из трех пропорциональных строк; далее первый столбец прибавили ко второму и четвертому с коэффициентами 2 и (-4) соответственно и два из трех пропорциональных столбцов отбросили. По теореме .

Вычислить , очевидно, можно было, получив лишь матрицу , не выполняя дальнейших преобразований.

 

БИЛЕТ.

1 вопрос. Матрица называется обратной для матрицы , если она вместе с удовлетворяет условию: , где – единичная матрица.

Из определения следует, что и – перестановочные, значит, обратная матрица существует лишь для квадратной матрицы (прямоугольные матрицы обратных не имеют).

2 ВОПРОС –

 

БИЛЕТ.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений у нее более одного.

ПРИМЕР.

 

БИЛЕТ.

ТЕОРЕМА. (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы линейных уравнений) Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной (без доказательства).

СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы однородная система уравнений с неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: система имеет нетривиальное решение.

Так как единственный минор -го порядка равен нулю, то , значит, нетривиальное решение существует.

2) Необходимость: система имеет нетривиальное решение .

Если , то не равен нулю минор -го порядка основной матрицы, значит, и решение единственно, что противоречит условию

БИЛЕТ.

1 ВОПРОС. ТЕОРЕМА. Для того чтобы система линейных однородных уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: (1.15) имеет нетривиальное решение.

По теореме о числе решений система в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные.

2) Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение .

Пусть , тогда по теореме о числе решений система (1.15) имеет единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно и .

ИЛИ

СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы однородная система уравнений с неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: система имеет нетривиальное решение.

Так как единственный минор -го порядка равен нулю, то , значит, нетривиальное решение существует.

2) Необходимость: система имеет нетривиальное решение .

Если , то не равен нулю минор -го порядка основной матрицы, значит, и решение единственно, что противоречит условию.

 

БИЛЕТ.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений матричным способом:

 

В предыдущем примере было показано, что , значит, систему матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица

Таким образом, Проверкой убеждаемся, что решение найдено верно.

 

 

Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что

,

поэтому , (1.13)

где , – определитель матрицы, полученной из А заменой ее -го столбца на столбец правых частей системы (1.10), = 1,2,…, . Формулы (1.13) называются формулами Крамера.

 

ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений: .

Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками:

Очевидно, что по теореме

Кронекера-Капелли система совместна.

, значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и – число свободных переменных.

 

Выпишем систему, соответствующую матрице и эквивалентную исходной:

.

Перенесем в правую часть переменные , считая их свободными ( – зависимые переменные):

.

Теперь подставим в первое уравнение и выразим через свободные переменные:

– общее решение системы.

Векторная алгебра.

Билет.

Вектором называется упорядоченная пара точек.

Билет.

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых: .

Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.