Билет.-

Билет.-

Билет.

ПРИМЕР. Если , то =(2,3,4) и наоборот, если , то

Так как, с одной стороны, вектор – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная тройка чисел, то, зная длину и направление, можно определить его координаты и наоборот. Направление вектора в заданной системе координат характеризуется его направляющими косинусами (рис. 11): .

 

Пусть

 

Z O Y X Рис. 11

Из этих формул очевидно следует основное свойство направляющих косинусов: Если известны длина и направляющие косинусы вектора, то его координаты вычисляются по формулам:

 

 

z   O y   x Рис. 12

Пусть – произвольный вектор в системе OXYZ, – радиус-векторы его начала и конца, , (рис.12). Тогда

 

(см. свойства линейных операций над векторами). Таким образом, , то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Билет.-

Билет.

основное свойство направляющих косинусов:

Билет.

Скалярным произведением векторов и называется скаляр (число), равный .

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

1. – очевидно из определения.

 

2.

Доказательство:

 

3.

Доказательство:

а) – очевидно.

б)

в) В этом случае

4. .

Отсюда следует, что

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

 

5.

Доказательство:

а) пусть

б) пусть или , или .

В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае или , то есть .

Билет.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

 

5.

Доказательство:

а) пусть

б) пусть или , или .

В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае или , то есть .

Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов :

Скалярное произведение

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих векторов:

Таким образом,

Билет.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ( перпендикулярен плоскости векторов и ).

2. Направление таково, что тройка – правая.

3. .

Векторное произведение обозначается так: или .

 

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.

Доказательство:

а) пусть или , или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . Если , то или , то есть .

 

б) пусть или

2. .

Доказательство: По определению направления векторов и противоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.

3. – свойство линейности векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства).

 

Билет.

Смешанным произведением векторов называется число – скалярное произведение на векторное произведение .

Смешанное произведение обозначается так:

Билет.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, при этом , если – правая тройка, и , если – левая тройка.

.