УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:

и

.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямыми в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным.

Из определения следует, что . Если , то

 

.

 

1) – условие перпендикулярности прямых.

2) – условие параллельности прямых в пространстве.

ПРИМЕР. Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки и .

 

.

Заметим, что уравнение прямой имеет вид: . В данном случае ноль в знаменателе писать принято: он означает, что направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей и .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть в некоторой пдск заданы плоскость

 

 

и прямая

(рис. 50).

Рис. 50
Рис. 51	1) – условие перпендикулярности прямой и плоскости (рис. 51).
Рис. 52	– условие параллельности прямой и плоскости (рис. 52).

 

 

Билет.-

Билет.-

Билет.-

Матан.

Билет.

Чтобы задать функцию, надо

1) задать множество Х,

2) определить правило установления соответствия между и .

 

Способы задания функции:

1) аналитический (с помощью формул)

 

ПРИМЕР. а) б)

в) .

2) табличный

 

ПРИМЕРОМ табличного задания функции является расписание.

3) графический.

Билет.

Если каждому значению из натурального ряда чисел 1,2,3,…, ,…ставится в соответствие по некоторому правилу действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью.

Таким образом, последовательность – функция натурального аргумента,

называется общим или -м членом последовательности. Зная общий член , можно найти любой член последовательности.

 

ПРИМЕР.

Билет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому значению из натурального ряда чисел 1,2,3,…, ,…ставится в соответствие по некоторому правилу действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью.

Таким образом, последовательность – функция натурального аргумента,

называется общим или -м членом последовательности. Зная общий член , можно найти любой член последовательности.

 

ПРИМЕР.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если называется верхней гранью, а нижней гранью последовательности.

 

ПРИМЕРЫ. а) = или ограничена сверху: или ограничена снизу:

б) – сверху неограничена и снизу неограничена.

в) или ограничена снизу:

Сверху неограничена.

Если последовательность имеет верхнюю или нижнюю грани, то они неединственны.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, то есть

 

ПРИМЕР. ограничена, так как или

Сформулируем еще одно эквивалентное этому определение ограниченной последовательности, которым, как правило, более удобно пользоваться.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. называется неограниченной, если для любого положительного найдется хотя бы один элемент такой, что

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. называется бесконечно большой, если

 

ПРИМЕРЫ. а) : 2,5,10,17,26,…1001,… – неограниченная и бесконечно большая.

б) : 0,8,0,32,0,72,… – неограниченная, но не бесконечно большая.

Всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Обратное утверждение неверно.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если

 

ПРИМЕР. . Если , то

Если , то

Если , то

Пусть произвольно, тогда . Таким образом, бесконечно мала.

Билет.

называется сходящейся, если – б.м. Число в этом случае называется пределом последовательности: . Кроме того, предел можно обозначать так:

 

ПРИМЕР. = Пусть – б.м. Значит, по определению сходится к 2:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число называется пределом , если Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Интервал называется -окрестностью точки .

Из определения 2 следует, что то есть

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. называется сходящейся, если такое, что в любой его -окрестности содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.

Очевидно, определения 1, 2, 3 сходящейся последовательности эквивалентны.

 

(не полностью билет)

 

Билет.

(предел функции на по Гейне) Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений ее аргумента , все члены которой отрицательны, соответствующая последовательность значений функции сходится к . Обозначение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 (предел функции на по Коши). Число называется пределом функции при , если

Можно доказать, что определения предела по Коши и Гейне эквивалентны.

ПРИМЕР. Вычислить .

Рассмотрим функцию При всех Выберем произвольную последовательность Тогда независимо от вида . По определению 1 это означает, что =6.