Для бакалавров – заочников инженерного факультета 4 страница

Для этого сначала первую строку (все ее элементы!) умножим на (-2) и прибавим ко второй. Затем вновь первую строку умножим на (3) и прибавим к третьей. По свойству определителей от прибавления кратной строки определитель не меняется. Указанные преобразования обозначим следующим образом:

 

Полученный определитель, у которого во втором столбце лишь один ненулевой элемент, разложили по второму столбцу.

Первая строка, которую мы умножали на числа и прибавили к другим (т.е. с которой мы работали), называется рабочей строкой, а элемент а₁₂=1, с помощью которого мы получали нули во втором столбце, называется разрешающим элементом.

Заметим, что это преобразование удобно для вычисления определителей высоких порядков.

Например, вычислим определитель четвертого порядка:

 

 

.

 

 

Далее вычисляем определитель третьего порядка:

Пример 2 (к задачам 11-20). По формулам Крамера и методом Гаусса решить СЛАУ

Решение. Воспользуемся формулами Крамера:

, , .

Находим определитель матрицы системы разложением по первой строке:

 

 

, следовательно, можно использовать выбранный метод решения. Вычисляем вспомогательные определители:

,

 

 

Определитель получен из заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Итак, = 33, ₁ = 0, ₂ = 33, ₃ = -66, следовательно, по формулам Крамера

Ответ: х ₁ = 0, х ₂ = 1, х ₃ = -2.

 

Решаем теперь методом Гаусса - расширенную матрицу А * приводим к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, каковыми являются:

1. Перемена местами любых двух строк;

2. Умножение любой строки на любое число , отличное от нуля;

3. Прибавление кратной строки.

В результате получаем матрицу, эквивалентную (равносильную) данной;

(~ - знак равносильности.)

 

.

 

Во-первых, обратим внимание на три числа: ранги матриц А и А * R(A), R (A *) и число неизвестных n. В нашем примере все преобразования, проводимые с матрицей А *, затрагивали одновременно и матрицу А - она отделена вертикальной чертой. Поэтому вместе с рангом матрицы А * видим и ранг матрицы А, подсчитав число ненулевых строк ступенчатой матрицы, которая отделена вертикальной чертой.

Основополагающей теоретической базой является теорема Кронекера-Капелли, которую схематично можно записать так:

R(A) = R(A *) = n система имеет единственное решение;

R(A) = R(A *) < n система имеет бесчисленное множество решений;

R(A) < R(A *) система решений не имеет (несовместна).

Итак, в нашем примере R(A) = R(A *) = n = 3, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система имеет единственное решение. Для решения сопоставим ступенчатой матрице систему:

Как видим, система решается просто, «снизу вверх»: х ₃ = – 2 и х ₂ = 1.

Подставляем в первое уравнение и получаем х ₁ = 5 + х ₃ – 3 х ₂ = 5 – 2 – 3 = 0.

Итак, система имеет единственное решение х ₁ = 0, х ₂ = 1, х ₃ = – 2 – единственный вектор - решение

 

 

Пример 3 (к задачам 21-30). Даны координаты пирамиды АВСD (рис); А (1,-4,0), В (5,0,-2), С (3,7,-10), D (1,-2,1).

Найти: 1) косинус угла между ребрами АВ и АD; 2) площадь грани АВС; 3) объем пирамиды АВСD; 4) длину высоты пирамиды, проведенной из точки D.

Решение. 1) Найдем координаты векторов и , вычитая из координат конца вектора координаты начала. Получим: , . Тогда, обозначив угол между ними через , имеем

.

Итак, .

2) Обозначим площадь грани, т.е. треугольника АВС, через S. Из определения векторного произведения получаем , т.к. длина векторного произведения равна площади параллелограмма, т.е. удвоенной площади треугольника.

Найдем координаты вектора . По формуле для векторного произведения в координатной форме находим:

.

Итак, , тогда , следовательно, S = 27.

3) Для нахождения объема V пирамиды сначала заметим, что , где V ₁ – объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , а для вычисления V ₁ используется смешанное произведение этих векторов:

.

Определитель разложили по первому столбцу (т.к. там имеется нуль). Смешанное произведение оказалось отрицательным, поэтому , а V =1/6 . Итак, V =18.

4) Теперь легко определить высоту Н пирамиды, т.к. , откуда

. Итак, Н = 2.

 

 

Пример 4 (к задачам 31-40). Даны координаты четырех точек M (–1,1,–5), N (3,5, – 7), P (1,12, –15), Q (–1,3, – 4). Требуется: 1) составить уравнение прямой MN; 2) составить уравнение плоскости MNP; 3) составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярную плоскости MNP; 4) найти точку пересечения этой прямой с плоскостью MNP; 5) найти расстояние от точки Q до плоскости MNP (двумя способами).

Решение. 1) Уравнение прямой МN напишем как уравнение прямой, проходящей через две точки

или MN: .

2) Уравнение плоскости MNP запишем как уравнение плоскости, проходящей через три точки:

 

 

3) Для написания уравнения прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно плоскости MNP, воспользуемся уравнением прямой с опорной точкой (x ₀, y ₀, z ₀) и направляющим вектором =(), взяв точку Q в качестве опорной точки, а в качестве направляющего вектора искомой прямой вектор нормали плоскости MNP: =(1,-2,-2). Тогда получим:

- уравнение искомой прямой.

4) Обозначим точку пересечения полученной прямой с плоскостью MNP буквой R. Уравнение прямой QR запишем в параметрическом виде:

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости MNP:

9 = – 4, = – 4/9.

Итак, х = – 4/9 + 1 = 5/9; у = 8/9 + 3 = 35/9; z = 8/9 – 4 = – 28/9, т.е. получили координаты точки R(5/9;35/9; – 28/9).

5)Найдем теперь расстояние от точки Q до плоскости MNP двумя способами.

Во-первых, это расстояние равно длине вектора :

.

Во-вторых, воспользуемся формулой расстояния Н от точки М₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0:

.

Получим:

.

 

Видим, что оба способа дают одинаковый результат.

 

 

Пример 5 (к задачам 41-50). Даны вершины треугольника MNP: М (–8, –3), N (4, –12), P (8,10). Требуется найти: 1) длину стороны MN; 2) уравнение сторон MN и NP и угловые коэффициенты; 3) угол N; 4) уравнение высоты РQ и её длину; 5) уравнение медианы МS.

Решение. Сначала сделаем чертеж.

 

1) Длину стороны МN находим как длину вектора

=(4 – (– 8); – 12 – (– 3))=(12;9):

 

2) Уравнения сторон МN и NP находим как уравнения прямых, проходящих через две точки: .

МN: .

 

NP:

Уравнение МN запишем в виде у + 3 = – 3/4(х +8), откуда находим её угловой коэффициент: К_MN = – 3/4. Аналогично для прямой NP:

3) угол N треугольника находим с помощью скалярного произведения векторов

:

итак, .

Можно угол N находить с помощью угловых коэффициентов прямых NМ и NP, т.е. по формуле

4) уравнение высоты РQ напишем по формуле у – у ₀ = k (х – х ₀), воспользовавшись условием перпендикулярности прямых РQ и МN: ,

Для нахождения длины вектора РQ воспользуемся формулой расстояния от точки Р до прямой МN:

РQ = .

Разумеется, к этому же результату можно придти по другому: можно найти координаты точки Q – пересечения МN и РQ, решив совместно их уравнения:

Применим формулы Крамера:

 

Итак, Q (–4; –6), тогда = (–12; –16),

5) Точка S – середина отрезка PN, её координаты находим по формуле:

Теперь через две точки напишем уравнение МS:

 

Пример 6 (к задачам 51-60). Вычислить .

Решение. Подставив х =2 получим неопределенность типа 0/0. Это означает, что многочлены х ²-3 х +2 и 3 х ³+ х ²-4 х -20 обращаются в нуль при х =2, т.е. х =2 является корнем обоих многочленов и оба многочлена делятся без остатка на (х -2). Проще всего деление осуществлять уголком:

 

x ²-3 x +2 ë_ x -2 _ 3 x ³+ x ²-4 x -20 ë x -2

- ï x -1 - ï 3 x ²+7 x +10

x ²-2 x 3 x ³-6 x ²

- x +2 7 x ²-4 x

– –

- x +27 x ²-14 x

0 10 x -20

–

10 x -20

 

Результатами делений являются равенства:

; .

Теперь,

 

 

Пример 7 (к задачам 51-60). Вычислить

Решение. Вновь имеем определитель типа 0/0, но в данном случае усложнение обусловлено наличием радикала: аргумент х «спрятан» под радикалом. Поскольку и простейшим источником неопределенности является (х - 5). Этот множитель уже имеется в знаменателе, а в числителе его нужно получить. Для этого применяются искусственные приемы. В данном случае домножим числитель и знаменатель на выражение (), сопряженное числителю с тем, чтобы для избавления от иррациональности в числителе использовать формулу разности квадратов: (а - b)(а + b) = а ² - b ². Получим:

 

 

Рассмотрим теперь случаи, когда .

Пример 8 (к задачам 51-60). Вычислить

Решение. Имеем неопределенность типа и поскольку сам аргумент , то основным источником неопределенности является аргумент х в наивысшей степени, в нашем случае х ². Его и надо выделить в числителе и знаменателе. Разделим числитель и знаменатель на х ²:

.

 

Мы учли, что т.д.

 

Пример 9 (к задачам 51-60). Вычислить .

Решение. При подстановке предельного значения аргумента х = 0 получаем неопределенность типа 0/0 и поскольку участвуют тригонометрические функции, следует применять 1-й замечательный предел: . На практике чаще всего первый замечательный предел применяется в более общей формулировке: пусть и при этом функция , тогда . Теперь переходим к вычислению указанного предела. Воспользуемся формулой .

Тогда

 

.

 

Пример 10 (к задачам 51-60). Вычислить .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность типа . Кроме того, аргумент стремится к двум (), а не к нулю. В таких случаях удобно провести замену переменной у=2-х и если , то . Оформим это следующим образом:

.

Заметим, что мы искусственно в скобках «подогнали» под формулу первого замечательного предела, в связи с чем нам пришлось домножить на .

 

Пример 11 (к задачам 51-60). Вычислить .

Решение. Вспомним правило (см. пример 13), что при предел отношения двух многочленов одинаковой степени равен отношению их старших коэффициентов, и получим в данном примере неопределенность типа . Поскольку фигурирует показательная функция, то раскрывать эту неопределенность следует с помощью второго замечательного предела , или , где . Второй замечательный предел применяется в более общей формулировке: пусть (в частности ) и при этом функция , тогда .

Теперь обратимся к заданному пределу. Общая формула второго замечательного предела означает, что под знаком предела стоит сумма единицы и некоторой бесконечно малой функции , а в показателе степени находится . Вот и «подгоним» заданный предел под форму второго замечательного предела (добавив и отняв единицу):

.

Продолжаем «подгонять» под общую формулу второго замечательного предела. Получили в нашем случае , следовательно .

Поэтому

.

Мы воспользовались тем, что

.

 

 

Пример 12 (к задачам 61-70). Найти производную функции .

Решение. является сложной функцией. Здесь можно расматривать, как функцию, зависящую от некоторой переменной u: , где u также является некоторой функцией , а . По правилу дифференцирования сложной функции можем записать: