Для бакалавров – заочников инженерного факультета 6 страница

2) АВ:

Подставляем снова из уравнения границы у = 2 – х в заданную функцию и получим

т.е. получили В (1,1).

Эта точка является граничной точкой отрезка АВ. Вычисляем

3) ОВ: у = х,

Поступая аналогично, получаем:

Получили критическую точку Е (1/2,1/2), вычисляем

Значения функции в граничных точках О и В мы вычисляли ранее.

Итак, окончательно имеем: z(C) = 6,25; z(D) = 5,25; z(A) = 3; z(В) = 5; z(E) = 4,5.

Сравнивая эти значения заключаем, что наименьшее значение z(A) = 3 достигается в граничной точке А; наибольшее значение z(C) = 6,5 достигается в точке экстремума (максимума) – точке С.

 

 

Пример 19 (к задачам 131-140). Найти вектор нормали к поверхности в точке . .

Решение. Уравнение нормали к поверхности S в точке имеет вид:

,

где – направляющий вектор прямой нормали, то есть искомый вектор нормали; – уравнение поверхности S.

Перепишем уравнение поверхности в виде

и найдём частные производные функции в точке М:

= , = ,

.

Тогда вектор нормали к поверхности в точке М будет равен .

 

 

Пример 20 (к задачам 131-140).

Найти производную скалярной функции в точке М (1,-3,4) в направлении вектора . Найти величину и направление наибольшего изменения скалярной функции в указанной точке

Решение. Производная скалярной функции и (x.y.z) в направлении вектора =(а ₁, а ₂, а ₃) вычисляется по формуле:

 

,

 

где cos ,cos ,cos - направляющие косинусы вектора , т.е. координаты единичного вектора = . В нашем примере частные производные

= , = ,

= .

Найдем теперь направляющие косинусы вектора =(-2,-1,1). Поскольку

 

= ,

То = (, , ). Следовательно, производная поля u (x,y,z) по направлению вектора в произвольной точке имеет вид

= ,

а в точке М:

= = = -0,04.

 

Найдём теперь величину и направление наибольшего изменения скалярной функции. Направление наибольшего изменения скалярной функции определяется, как градиент скалярной функции. А величина этого направления – как модуль градиента.

Градиент скалярной фыункции вычислим по формуле

.

Для нашего примера он равен

 

- в произвольной точке,

- в точке М (1, -3, 4).

 

Тогда модуль градиента: = = .

 

Пример 21. (к задачам 141-150).

В указанном двойном интеграле построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл в обоих случаях:

I= .

Решение: Сначала построим область интегрирования D, которая разбита на две части D ₁ и D ₂. Область D ₁ ограничена линиями (см. первое слагаемое): у = 0, у = 1, х = 0 и х = у. Область D ₂ ограничена линиями (см. второе слагаемое) у = 1, у = е, х =ln у (т.е. у = е^х) и х = 1. Таким образом область D, построена и заданный повторный интеграл равен двойному I= , который представляет собой площадь области D.

Поменяем порядок интегрирования, т.е. область D проектируем на ось Ох – она проектируется в отрезок [0,1] оси Ох. Тем самым получены нижний и верхний пределы интегрирования по переменной х. Теперь заметим, что в рамках полосы между прямыми х = 0 и х = 1 область D ограничена снизу прямой х = у или (у = х), а сверху кривой х = ln у (или у = е^х) Таким образом, получаем

I= = = .

Теперь вычислим интеграл в обоих случаях.

I= = = = = е - - е⁰ = е - .

Второй случай оказывается для вычисления более громоздким:

 

I= = + = + = = = =

Пример 22 (к задачам 151-160). Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам: , D: .

Решение: Связь между декартовыми (х, у) и полярными координатами имеет вид: , , 0 <2 (или ). При этом изменяется подынтегральное выражение и область интегрирования по формуле:

= = , где якобиан J вычисляется следующим образом:

J = = .

Следовательно, . В нашем примере f (x, y) = 1, поэтому

Остается выяснить, как выглядит область Г с тем, чтобы знать как расставить пределы интегрирования. Можно поступать двояко.

Для данного примера область D ограничена линией _. Как видим, в декартовых координатах это громоздкое выражение. Для построения этой линии перейдем к полярным координатам (подставим в уравнение линии):

- так выглядит уравнение границы области D в полярных координатах. Обычно строят границу по точкам, помня геометрический смысл полярных координат: - длина радиус-вектора точки, - угол, который образует этот радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ. Поскольку всегда , то в нашем примере угол принимает значение в промежутке . При этом в силу четности косинуса составим табличку для построения кривой лишь для отрезка , а для отрезка используем симметрию(см. рисунок).

 

		=

y

 

 

х

0 1

 

Таким образом, граница области D получилась в форме овала. Теперь из чертежа легко видеть, что угол изменяется (по часовой стрелке) от () до (). Далее возьмем в области произвольный радиус-вектор и заметим, что минимальное значение длины радиуса-вектора равно нулю (начало координат), а максимальное находится как расстояние от начала координат до границы области D, т.е. .

Итак, I= .

Второй способ состоит в том, что область Г строим в декартовой системе координат : (см. рисунок) и вновь приходим к тому же результату. Вычислим интеграл:

 

1

 

- 0

 

= =2 =2 = = =

= =

= =

= =

= = =

= .

 

Пример 23 (к задачам 161-170). Выполнить действия над комплексными числами. Результаты записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить графически:

а)

Решение. Число j, удовлетворяющее условию , называется мнимой единицей. Заметим, что мнимую единицу чаще обозначают буквой i. Однако в электротехнике буквой i всегда обозначают ток, а для обозначения мнимой единицы используется j.

Число , где и - действительные числа, представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа.

- это тригонометрическая форма записи комплексного числа. Здесь - модуль комплексного числа: ; угол - аргумент комплексного числа, который находится из формул .

- показательная форма записи комплексного числа.

 

а) Найти частное двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме: . Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить графически

Решение. Для того чтобы найти частное двух комплексных чисел в алгебраической форме, домножим числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. Комплексно сопряженным числу называют число . Тогда

 

.

Мы получили результат деления в алгебраической форме: .

Представим число z в тригонометрической форме. Для этого вычислим, сначала, его модуль и аргумент:

;

рад.

 

Тогда тригонометрическая форма записи полученного комплексного числа будет иметь вид:

.

Показательная:

.

Геометрически комплексное число на плоскости изображается радиус-вектором В нашем случае получаем изображение числа z, показанное на рис 1.

 

 

б) Вычислить . Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить графически

Решение. Сначала запишем число в тригонометрической форме. Для этого найдём модуль и аргумент комплексного числа.

Следовательно . Тогда тригонометрическая форма записи комплексного числа будет . Для возведения полученного комплексного числа в степень n = 60 воспользуемся формулой Муавра:

Тогда

 

- это тригонометрическая форма записи заданного комплексного числа.

Сразу можем записать показательную форму:

.

Для того чтобы получить алгебраическую форму записи, нужно вычислить значения синуса и косинуса в тригонометерической форме:

.

- алгебраическая форма записи комплексного числа.

Само комплексное число изображено на рис. 2.

 

в) Найти все значения . Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить графически

Решение. Комплексный корень имеет п различных значений. Для того чтобы найти все эти значения, воспользуемся формулой

.

Представим, сначале, в тригонометрической форме:

, тогда , k=0,1,2,3.

Отсюда получаем 4 значения корня четвертой степени из (-1):

 

Здесь у нас сразу записана тригонометрическая, показательная и алгебраическая формы.

Графически все полученные значения корня расположены в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса (рис. 3).