Умножение

⁵⁸Co, ⁶⁰Co – по оценке альфа-доля от них занимает до 80%

⁵⁴Mn, ⁵¹Cr, ⁵⁹Fe, ⁹⁵Zn – продукты коррозионного происхождения.

Необходимо использовать кислоты.

Хромат переходит в раствор

Cr₂O₃ + 2KMnO₄ + KOH K₂CrO₄ + 2MnO₂ + H₂O – окислительно-восстановительная реакция

Магнетит – оксид твердый плохо растворяется при

3Fe₃O₄ + KMnO₄ + 2H₂O дает FeOOH + MnO₂ + KOH

Fe⁺² Fe⁺³ восстан.

Только Fe⁺² окисляется и происходит разрушение (в виде мело дисперсной фазы и можно использовать фильтры).

Окислительный процесс происходит….

 

Сложение

π = 3, 14926; e = 2, 718

5 = 3+2 < e+ π < 3+4 = 7

5,8 = 2,7 + 3,1 < e+ π < 2,8 +3,6 = 6

5,85 = 2,71 + 3,14< e+ π < 2,72 + 3,15 = 5,87

Мы таким способом показывали сложение двух чисел с разной точностью, поэтому пусть a+b€ [a(n) + b(n); a’(n) + b’(n)]

Свойства:

A+b = b+a –комбинаторное

(a+b) +с = a + (b + c) – ассоциативное

А + 0 = а – свойство существования нуля.

а + (- а) = 0 – свойство выполняется при отсутствии у числа а хвоста из 9

Умножение

а*b = b*a

(а*b)*c = а*(b*c)

A*1= a

Cсуществует а^-1 такое что а * а^-1 =1

Дистрибутивность: (a + b)*c = a*c + b*c

 

 

№5 Ограниченные числовые множества. Определение верхней и нижней граней числовых множеств. Доказательство теоремы о ∃верхней грани ограниченного сверху числового множества, доказательство теоремы о ∃нижней грани ограниченного снизу числового множества.

 

Множество А⊂R ограниченно, если оно ограниченно сверху и снизу.

Множество А⊂R ограниченный сверху (снизу), если ∃ такое вещественное число х_М (х_m). Что для всех чисел а∈А выполняется условие: а≪х_M (a≫x_m).

ОПР. Число х_M (x_m) – точная верхняя (нижняя) грань множества А(supA, infA), если:

1)для ∀а∈А имеет место а≪х_M (а≫х_m).

2)если х¹<x_M (x_m< х¹), то ∃а¹∈А: а¹> х¹ (а¹<х¹).

 

Теорема. Пусть А- непустое подмножество множества R. Тогда, если А ограничено сверху, то ∃точная верхняя грань supA множества А. Если А ограничено снизу, то ∃ точная нижняя грань infA множества А.

Док-во (для supA, для infA – аналогично).

Для простоты положим что мн-во А содержит неотрицательные числа.

Т.к. мн-во А ограничено сверху и содержит неотрицательные числа, то ∃ такое целое n0>0, что а) для ∀ а∈А выполняется неравенство а< n0 +1. б)∃а1: а1≫ n0.

 

Полуинтервал [n0, n0+1) делим на 10 равных частей точками n0, 1; n0,2;…..; n0,9.

 

Выбираем число n1 (0≪ n1≪9): а)∀а∈А имеет место а<n0, n1+10-1.б)∃а1∈А: а1≫ n0, n1.

 

Полуинтервал [n0, n1; n0, n1+10-1) снова делим на 10 равных частей точками n0, n11; n0, n1,2;….; n0, n19.

 

Выбираем число n2 (0≪ n2≪9): а)∀а∈А имеет место а<n0, n1 n2+10-2.б)∃а1∈А: а1≫ n0, n1 n2.

 

Продолжая последовательно делить получающиеся полуинтервалы, придем к выводу что, ∀к=1,2,….∃nk (0≪ nk≪9) имеет место: а))∀а∈А иметь место равенство а< n0, n1….. nk+10-k, б))∃а1∈А: а1≫ n0, n1…. nk.

 

Рассмотрим вещественное число х= n0, n1…. nk…… и покажем, что х=supA. Для этого достаточно показать что а))∀а∈А: а≪х. б)если х1<х, то ∃а1∈А: а1>х1.

 

Предположим что а) неверно, тогда ∃а∈А: а>х. Т.к. а>х, то ∃ к- значное нижнее приближение а_k числа а, что а_k>х_k^----(х_k^---- - к-$значное верхнее приближение а_k числа х) и а≫а_к> х_k^----=n₀, n₁….. n_k+10^-k. Однако последнее неравенство противоречит а) =>а) доказано.

 

Путь х¹>х, тогда ∃к: х_к>: х_к¹. По построению числа х ∃а¹∈А: а¹≫х_к.. Итак, а^1≫ х_к> х_к^----1≫ х¹ и а¹>х¹. Т.О. второе утверждение так же имеет место.↓

 

№6 Функции. Способы их задания. График функции. Обратимые функции. График обратной функции. Простейшие преобразования графиков функции.

Говорят что задано отображение из множества А в множество В (φ:А→В), если указан закон, в силу которого некоторым элементам мн-ва А поставлены в соответствие элементы мн-ва В, при этом каждому элементу А соответствует не более одного элемента мн-ва В.

Функция – это произвольное отображение f:R→R.

Способы задания функций: аналитический (написать формулу y=f(x)),неявно F(x,y)=0,параметрически (х=х(е); y=y(t)). графический или указать закон сопоставления элементов мн-ва А элементам мн-ва В.

График функции – это множество точек с координатами (х, f(x)).

Обратимые функции – это функции, имеющие обратные к ним функции.

Если f- взаимно однозначная функция, то обратное к f отображение g также однозначно, т.е. тоже является функцией. Обратное отображение g соответствующее взаимно однозначному отображению, такому что D(f)⊂R,E(f)⊂R, называется обратной функцией. Для того чтобы из функции y=f(x) получить обратную функцию g, необходимо решить уравнение y=f(x) относительно х и (в том случае, если в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться посредством х) поменять переменные х и у местами. При том графиком обратной функции g является график функции f, зеркально отраженный относительно прямой у=х. Изменения функции: (x,y)→ (x – a;y) - происходит параллельный перенос вдоль оси Ox на а. x→ kf(x) (x,y) → (x; ky) – происходит растяжение графика x→ f(kx+b) (x,y) → (x/k; y)- происходит сжатие вдоль оси Ox

7. Высказывания – утвердительное предложение про которое можно сказать истинно оно или ложно.

P&q –конъюнкция, можно сравнить с пресечением на множестве

Pvq – дизъюнкция, можно сравнить с объединением на множестве

p↔q – эквиваленция, два высказывания эквивалентны, когда их значения совпадают при всех значениях входящих туда высказываний.

В билете не забыть рассказать таблицу истинности.

8.Тавтология – это тождественное истинное высказывание.

А <=>В - тавтология; тогда и только тогда, когда А ≈ В

Законы логического вывода:

1)Если А и А => В тавтологии, то В – тоже тавтология

2)Принцип дедукции р => (q =>p)

Если для определенных значений А истинно, и при этих значениях В истинно, тогда А=> В истинно при этих же значениях

 

№9 Предикат – высказывательная функция. Существуют некоторые математические индивиды, между которыми возникают связи, некоторые отношения, которые представляют собой функцию, который мы называем предикат. Использование только элементарных формул не дает возможности сформулировать на математическом языке некоторые теоремы, для этого вводят понятие квантора.

Обычно ограничиваются квантором всеобщности(перевернутая А) и квантором существования(это развернутая Е). Предписывание к предикатной формуле кванторов называется операцией навешивания кванторов.

Квантор – символ математической логики; логическая операция, дающая качественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате ее применения.

Предикат – логическое сказуемое, то что говорится о предмете высказывания

 

№10 определение числовой последовательности. Предел последовательности. Примеры сходящихся и расходящийся последовательностей.

Числовая последовательность – произвольное отображение множества N в R. F:N→R. (n,y_n) называется элементом последовательности y_n. Способы записи последовательностей: y=N→К или { y_n }.

По Гейне.

Число а называется пределом { y_n } при n→∞, если в каждой осевой полосе с осевой линией y=a лежат все элементы последовательности, кроме, может быть, конечного их числа. Пишется а=

По Коши. а= ↔∀ 𝜀>0 ∃ N_𝜀:для n> N_𝜀 =>| y_n –a|<𝜀;