Непрерывность тригонометрических ф-ций

Предварительно установим следующие неравенства:

0<|sin(x)|<|x|<|tg(x)| при 0<|x|< (*)

Рассмотрим тригонометрический круг единичного радиуса, где |BC|=|sin(x)|,|DA|=|tg(x)|,<AOB=x.

Из геометрических соображений ясно, что при 0<|x|< имеем 0<S_∆AOB<S_сек.AOB<S_∆AOD т.е. 0< |BC||AC|< |AO|²|x|< |DA||AO| или (поскольку |AO|=1) 0<|sin(x)|<|x|<|tg(x)| => неравенства (*) доказано.

Непрерывность ф-ции y=sin(x) на всей числовой прямой.

В самом деле, так как sin(x)-sin(x₀)=2sin cos , то в силу неравенств (*) (при |x-x₀|< ) |sin(x)-sin(x₀)|≤2|sin |<2 =|x-x₀|.

Для произвольно заданного ε>0 выберем δ=ε, тогда из последнего неравенства следует, что |sin(x)-sin(x₀)|<ε при условии что |x-x₀|<δ. Следовательно ф-ция y=sin(x) непрерывна при всех х.

Непрерывность ф-ции y=cos (x) на всей числовой прямой.

Аналогично из равенства cos(x)-cos(x₀)= -2sin sin вытекает непрерывность ф-ции y=cos(x) при всех х.

Непрерывность ф-ий y=tg(x);y=ctg(x) следует из того что эти ф-ции представляют собой отношения двух непрерывных ф-ций. А по теореме (Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения Х, непрерывные в точке х₀. Тогда в этой токе непрерывны следующие ф-ции: f(x)±g(x),: f(x)g(x),: f(x)/g(x) (в последнем случае предполагается, что g(x) ≠0 при х∈Х) 0 это отношение является непрерывным в точках, в которых отличны от нуля ф-ции aos(x) и sin(x) соответственно.