Системы нелинейных уравнений

Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид

 

f_k (x ₁, x ₂, …, x_n) = 0, 1 ≤ k ≤ n. (2.8)

 

Систему двух нелинейных уравнений

 

(2.9)

 

можно решить приближенно графическим способом. Для этого достаточно преобразовать систему к виду

 

(2.10)

 

построить графики функций y = y ₁(x), y = y ₂(x) и найти координаты точек пересечения графиков (рис. 2.9). При использовании электронных таблиц или математических пакетов решение можно уточнить графически, сужая отрезок [ a, b ] около корня x_s.

Рис. 2.9. Графическое решение системы двух уравнений

 

Пример 2.8. Решить графически систему двух уравнений

 

 

Решение. Сначала приведем алгоритм определения решения системы двух уравнений графическим методом:

1) Преобразуем систему к виду .

2) Построим графики функций и y = cos x, подбирая отрезок
[ a, b ] изменения переменной x так, чтобы графики пересекались.

3) Изменяя, т.е. уменьшая отрезок [ a, b ], уточняем решение (x_s, y_s).

Решение в программе Excel. Так как область определения функции
задается условием x ≥ 0, выберем для построения графиков отрезок
[0; 1] с шагом изменения 0,1. Если графики не будут пересекаться, то вместо
отрезка [0; 1] возьмем отрезок [1; 2] и т.д.

1) В ячейки A 2, A 3 запишем соответственно 0 и 0,1; выделим диапазон
A 2: A 3 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки A 12.

2) В ячейку B 2 запишем формулу =корень(A 2); выделим B 2 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки B 12.

3) В ячейку C 2 запишем формулу =cos(A 2); выделим C 2 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки C 12.

4) Выделим диапазон A 2: C 12 и построим диаграмму «Точечная». Графики, как видим, пересекаются. Проведем настройку диаграммы.

Щелкнем правой кнопкой мыши по диаграмме и выберем «параметры диаграммы», вкладку «Легенда» и снимем флажок с параметра «показать легенду».

Щелкнем правой кнопкой мыши по диаграмме и выберем «параметры диаграммы», вкладку «линии сетки», отметим «промежуточные линии» оси X и «промежуточные линии» оси Y.

Щелкнем правой кнопкой мыши по оси X диаграммы и выберем «формат оси», в появившемся окне выберем вкладку «Шкала» и введем «минимальное значение — 0», «максимальное значение — 1», «цена основных делений — 0,1», «цена промежуточных делений — 0,1».

Аналогично, для оси Y диаграммы выберем «цена основных делений — 0,1», «цена промежуточных делений — 0,1». Полученная диаграмма приведена на рис.2.10.

Рис.2.10. Графическое решение системы двух уравнений

 

5) На диаграмме увидим, что графики пересекаются между значениями x = 0,6 и x = 0,7. Заменим отрезок [0; 1] на отрезок [0,6; 0,7], для чего введем в ячейки A 2, A 3 числа 0,60 и 0,61, выделим диапазон A 2: A 3 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки A 12. Графики изменятся. Щелкнем правой кнопкой мыши по оси X диаграммы и выберем «формат оси», в появившемся окне выберем вкладку «Шкала» и введем «минимальное значение — 0,6», «максимальное значение — 0,7», «цена основных делений — 0,01», «цена промежуточных делений — 0,01». И для оси Y диаграммы внесем изменения: «цена основных делений — 0,01», «цена промежуточных делений — 0,01». Теперь мы увидим, что графики пересекаются между значениями
x = 0,64 и x = 0,65.

6) Аналогичными действиями заменим отрезок [0,6; 0,7] на новый отрезок [0,64; 0,65] с шагом изменения 0,01. Получим x ≈ 0,641; y ≈ 0,801.

Процесс уточнения можно продолжать и дальше. Погрешность полученного решения составляет приблизительно 0,001 для обеих неизвестных.

Для уточнения решения (x_s, y_s) можно также применить метод итераций или метод Ньютона, которые рассматриваются ниже.