Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана:

1) Как пересечение двух плоскостей

Прямую l можно задать как пересечение двух плоскостей

тогда ее направляющий вектор будет равен

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой можно задать двумя точками M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

3) Канонические уравнения прямой

Уравнение прямой можно задать точкой M₁(x₁,y₁,z₁), ей принадлежащей, и вектором , ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой, а вектор - направляющий вектор прямой.

4) Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t

. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости

5) Угол между двумя прямыми

Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями и определяется из соотношения .

6) Условие параллельности прямых

Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они параллельны в случае .

7) Условие перпендикулярности прямых

Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они перпендикулярны в случае .

8) Условие компланарности двух прямых

Если прямые заданы каноническими уравнениями и , то они компланарны в случае

Замечание. Прямые компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны.

9) Угол между прямой и плоскостью

Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то угол между ними определяется по формуле

10) Условие параллельности прямой и плоскости

Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то они параллельны, если выполняется .

11) Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость задана общим уравнением , то они перпендикулярны, если выполняется .

12) Точка пересечения прямой и плоскости

Чтобы определить точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскости, заданной общим уравнением , нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой , которые необходимо подставить в уравнение плоскости. Получим уравнение с неизвестным параметром t. Найденный параметр подставим в параметрические уравнения и получим координаты искомой точки.

Возможны варианты:

а) если , то прямая пересекает плоскость;

б) если и , то прямая параллельна плоскости;

в) если и , то прямая лежит в плоскости.

Пример 2.3. Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

 

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде

x-y+3z+D=0.

Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

 

Пример 2.4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60^о.

 

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

, где m=A/B.

Решая квадратное уравнение 3m² + 8m - 3 = 0, находим его корни

m₁ = 1/3, m₂ = -3, откуда получаем две плоскости

1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

 

Пример 2.5. Составьте канонические уравнения прямой:

5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

 

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где - координаты направляющего вектора прямой, x₁, y₁, z₁ - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x₁, y₁, z₁), принадлежащей данной прямой, мы нашли:

M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей a₁(5,1,1) и a₂(2,3,-2). Тогда

 

 

 

Канонические уравнения прямой имеют вид: .

 

Пример 2.6. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

 

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u¹₀ (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.