Структурная и развернутая оптимизационная модель

По степени детализации прогнозные экономико-математические модели можно разделить на две группы, имеющие взаимосвязь:

– структурные;

– развернутые.

Структурная запись модели показывает важные и повторяющиеся стороны, отражая общие тенденции моделируемого процесса. Она дает следующие возможности исследователю:

а) определять число групп однородных условий, то есть, совпадающих по смыслу. Например, в соотношении по использованию земельных угодий однородные ограничения – по пашне, сенокосам, пастбищам;

б) определять необходимые неизвестные и известные величины, а также тип ограничений;

в) уточнять описываемые взаимосвязи между всеми видами переменных и известными величинами;

г) предопределять содержание и возможный метод решения задачи.

Реализация и детализация структурной модели происходит через составление и решение развернутой экономико-математической задачи применительно к конкретному объекту. Основой развернутой или числовой модели ЭМЗ является матрица, содержащая основную информацию о моделируемой системе. Она представляет собой специальную таблицу, содержащую обозначения переменных, ограничений, целевой функции, а также их числовое выражение в виде конкретных коэффициентов. Обычно вначале записывают ограничения развернутой ЭМЗ в виде системы линейных неравенств и уравнений с целевой функцией, а затем уже строят матрицу (табл. 2).

 

Т а б л и ц а 2 – Матричная запись прогнозной ЭММ

Номер ограничений	Переменные величины	Тип ограничений	Свободные члены
х1	х2	…	хj	…	хn
	а11	а12	…	а1j	…	а1n	=	в1
	а21	а22	…	а2j	…	а2n		в2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	аi1	аi2	…	аij	…	аin		вi
…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	am1	am2	…	аmj	…	аmn	=	вm
F	c1	c2	…	сj	…	сn	®	max(min)

 

Не составляет большого труда составить модель, включающую несколько блоков, которые в матрице обычно располагаются по диагонали. Они включаются в общую экономико-математическую задачу единой последовательностью нумерации переменных и ограничений. Увязка блоков осуществляется единой целевой функцией, поэтому по диагонали располагаются лишь технико-экономические коэффициенты. Кроме того, единство модели обеспечивается связующим блоком, в котором отражаются общие для всех блоков ограничения.

Экономико-математическую модель можно записать развернуто в виде системы неравенств и уравнений. Однако при достаточно большом числе неизвестных переменных и ограничений такая задача громоздка, уменьшает обозримость и затрудняет чтение. Для более компактной записи используют общепринятую систему условных обозначений переменных величин, технико-экономических коэффициентов, свободных членов (констант) и коэффициентов при переменных в целевой функции.

В принципе безразлично, какими символами будут обозначаться отдельные параметры модели. Основной смысл состоит в том, чтобы они имели однозначное пояснение (однако при этом нужно постоянно отвлекаться на поиск толкования каждого символа). Поэтому при моделировании оптимизационных прогнозных задач в основном используются общепринятые в аграрной экономике символы, которые отвечают принципам последовательности, экономичности и запоминаемости. Рассмотрим соблюдение данных принципов на примере таких условных обозначений, как индексы.

Индексация используется для обозначения номеров строк и номеров столбцов. Обычно номера столбцов переменной обозначаются через j (j =1,…, n), а номера строк – через i (i =1,…, m). Номера строк могут обозначаться и другими индексами. При этом, исходя из принципа запоминаемости, вводятся индексы, встречающиеся в других дисциплинах. Например, в теории кормления используется индекс h, поэтому в модели введение этого символа обозначает строку или ограничение, описывающее использование (производство) кормов.

Иногда среди индексов номера строк или номера столбцов выделяются группы ограничений и группы переменных. Допустим, – номер переменной определенной группы, (знак Î обозначает принадлежность).

В разрезе групп индексов осуществляются те или другие операции (суммирование и др.) и тогда возникает необходимость их объединения (в случае записи однородных ограничений или однородных операций). Общепринято, что i – номер ресурса. В рамках этого общего индекса можно выделить группы, которых описывают соответствующими множествами: I₀ – множество видов сельскохозяйственных угодий; I₁ – множество видов трудовых ресурсов; I₂ – множество видов товарной продукции и т.д. Следовательно, через один индекс можно описать понятия, имеющие общий знаменатель (в данном случае общим признаком является понятие ресурсов предприятия).

При формализации экономико-математической задачи используют различные классические обозначения. Например, операция суммирования обозначается å. Под этим знаком записывают индексы, которые показывают, в рамках какой группы переменных необходимо осуществить суммирование. Допустим, имеем запись:

, где – множество отраслей животноводства.

Ее можно прочитать следующим образом: необходимо произвести суммирование по всем j (по всем переменным), принадлежащим отраслям животноводства.

В блочной модели могут встречаться знаки двойной суммы:

, где – множество отраслей организации, R₀ – множество составляющих объектов АПК района.

При введении индексов встречаются ситуации, что в рамках множества нужно выделить подмножества. Например, если H₀ – множество кормов сельскохозяйственной организации, то в его рамках выделяются группы кормов разного предназначения. Поэтому вводят подмножества, например, H₁ – группа основных кормов, Н₂ – группа покупных кормов. Взаимосвязь между множествами выражается через знак Ì. Значит, Н₁ Ì Н₀ или Н₂ Ì Н₀.

Для обозначения переменных величин вводятся символы из латинского и греческого алфавитов (чаще всего х). Дополнительные искомые переменные можно обозначать тем же символом с черточками или другими дополнительными обозначениями и т.д.), а также вводя другие символы: и др.

Во всех случаях вводимые переменные требуют пояснений по тексту, раскрывая их экономическое, технологическое и другие значения с учетом применения соответствующих индексов.

Известные величины (свободные члены каждого ограничения) обозначаются большими буквами:

А – сельскохозяйственные угодья;

В – трудовые ресурсы организации;

D – реализуемый объем продукции.

В ряде случаев при формировании констант используют подстрочные или же, чаще всего, надстрочные символы. Например, М и могут использоваться для обозначения переменной х,находящейся в интервале между минимальным и максимальным уровнем.

Известные величины (коэффициенты при неизвестных переменных) характеризуют в расчете на единицу отрасли. Такие технико-экономические коэффициенты сопровождаются индексами принадлежностями, первый из которых обозначает принадлежность к ограничениям, последующий – к переменным, то есть ij. Обозначаются они малыми буквами a, b, d и т.д.

Коэффициенты целевой функции обычно обозначают символами с или , а суммарное значение функции – F, f(x) или Z.

Установление перечня переменных величин или неизвестных экономико-математической задачи играет важную роль, так как определяет размер матрицы. Обычно в оптимизационных моделях состав переменных должен быть достаточным и отражать содержание исследуемой проблемы.

В каждой задаче перечень переменных специфичен, а поэтому желательно использовать некоторые общие принципы о том, какие неизвестные необходимо найти в процессе решения.

Во-первых, перечень переменных величин должен отражать характер, основное содержание моделируемого процесса. Например, при оптимизации производственной структуры сельскохозяйственной организации в качестве переменных будут выступать неизвестные: размеры отраслей растениеводства и животноводства; объемы трансформации, то есть перевод угодий из одного вида в другой; другие основные переменные (площади проведения агротехнических, лесомелиоративных и других мероприятий в районах эрозии, объемы оросительной воды, регулируемого стока при орошении на местном стоке и т.д.).

Во-вторых, число и состав переменных в каждой модели определяются вычислительными возможностями прикладных программ и конкретной ЭВМ, на которой предполагается осуществить решение задачи.

В-третьих, количество переменных зависит от выбора периода планирования, который оказывает существенное влияние на степень их детализации. Чем ближе год, на который составляется модель, тем больше детализация переменных. Например, при краткосрочном планировании зерновые культуры вводятся в модель не группой, а по их видам – озимая рожь, тритикале, ячмень, яровая пшеница и др.. Отрасль крупного рогатого скота может рассматриваться по видам и половозрастным группам – молодняк до года, старше одного года, нетели, откорм и др. При моделировании на более отдаленную перспективу необходимости в столь подробной детализации переменных нет (тогда в задаче в качестве отдельного вектор-столбца будут зерновые, технические, кормовые культуры и другие объединенные группы отраслей растениеводства и животноводства).

В-четвертых, количество переменных зависит от того, насколько подробно в модели должны быть представлены следующие признаки: вид продукции, направления ее использования, способы ее сбыта. Такой учет приводит к тому, что одна и та же сельскохозяйственная культура в экономико-математической задаче может быть представлена несколькими переменными, например: многолетние травы на сенаж, силос, семена, травяную муку, сено и зеленый корм; в другом случае: ячмень продовольственный, ячмень фуражный, ячмень на пивоваренные цели; применительно к животноводству: коровы с годовым удоем 3000, 4000, 5000 кг и т.д.

В экономико-математической модели ее переменные можно расчленить на три следующие группы:

– основные;

– дополнительные;

– вспомогательные.

Основные переменные отражают характер и основное содержание моделируемого процесса: сельскохозяйственные культуры и угодья, поголовье животных, виды кормов, минеральные удобрения.

Дополнительные переменные детализируют или поясняют содержание основных переменных: объем реализации продукции на ярмарке, бирже, рынках стран СНГ и др.

Вспомогательные переменные используются для определения некоторых расчетных величин (материально-денежных затрат или других показателей эффективности предприятия).

Для каждой переменной устанавливают конкретную единицу измерения (га, гол., чел.-ч, ц и т.д.). При этом целесообразно выбирать одинаковые единицы измерения по однотипным группам переменных. Так, если размеры производства продукции растениеводства измерять в гектарах посева, что делается в большинстве случаев, то такой подход применим для всех без исключения сельскохозяйственных культур объекта.

Применяемые единицы измерения не должны затруднять анализ оптимального решения. Для этого, например, крупный рогатый скот лучше не обозначать одной переменной (единица измерения – структурная маточная голова), а ввести две переменные: а) коровы; б) молодняк крупного рогатого скота на выращивании и откорме.

Нахождение оптимальных решений зависит от правильного определения состава ограничений, которые занимают центральное место в математических моделях. Ограничения записываются тремя типами линейных соотношений: меньше или равно , больше или равно и равно .

Полнота и точность отражения в модели всех ограничений повышает качество составляемой модели, а для этого важен учет всех условий – природных, социально-экономических, технических и др.

Ограничения могут налагаться на отдельные переменные, часть их или на все одновременно. Число их должно быть достаточным, так как количество составленных уравнений и неравенств определяет виды и способы деятельности, которые смогут войти в оптимальный план. По своей роли в модели они подразделяются также на три следующие группы:

– основные;

– дополнительные;

– вспомогательные.

Основные ограничения выражают главные, наиболее существенные условия задачи. Они накладываются на все или большинство переменных модели. К основным относятся ограничения по использованию производственных ресурсов.

Допустим, речь может идти об использовании таких ограниченных ресурсов, как земельные (по пашне богарной, орошаемой, осушаемой, засоленной; по сенокосам заливным и суходольным; по пастбищам естественным и улучшенным). К этой группе относятся также условия по использованию трудовых ресурсов, кормов, минеральных и органических удобрений, ядохимикатов, топлива и смазочных материалов, финансовых ресурсов и др.

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или небольшие их группы. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих по нижней и верхней границе объемы продажи отдельных видов продукции по рыночным каналам, потребление животными отдельных видов кормов, площади посевов культур, исходя из агротехнических требований севооборотов и др. В целом смысл таких ограничений в том, что они устанавливают интервалы изменения неизвестных переменных задачи.

Вспомогательные ограничения не имеют самостоятельного экономического значения, так как их вводят для облегчения разработки числовой модели и обеспечения правильной формулировки экономических требований. Например, на их основе можно найти определенные пропорциональные взаимосвязи.

Необходимо иметь в виду также следующее обстоятельство. Ввиду того, что большинство моделей, связанных с оптимальным функционированием сельскохозяйственной организации, решается на максимизируемые критерии оптимальности (выручка, прибыль и др.), то необходимо обязательное включение условий по использованию ограниченных производственных ресурсов (иначе будет получено неограниченное решение).

Рассмотрим основные приемы математической формализации процессов на фрагментах задач, решаемых с использованием симплексного метода линейного программирования. Допустим, необходимо составить экономико-математическую задачу по обоснованию размеров растениеводческого кооператива сельскохозяйственной организации. Имея в наличии 610 га пашни и 130 га сенокосов, введем обозначения неизвестных (га):

х₁ – озимые зерновые на товарные цели;

х₂ – яровые зерновые на товарные цели;

х₃ – картофель продовольственный;

х₄ – корнеплоды;

х₅ – кукуруза на силос;

х₆ – сенокосы на сено;

х₇ – сенокосы на сенаж.

Развернутая запись условий, характеризующих использование земельных ресурсов, следующая:

по площади пашни –

;

по площади сенокосов –

.

Эти однородные группы ограничений в структурном виде (то есть, в символах) можно записать следующим образом:

где j – номер отрасли растениеводства;

J₀ – множество отраслей растениеводства;

i – номер ресурса или продукции;

I₀ – множество сельхозугодий;

x_j – размеры отрасли растениеводства вида j;

a_ij – расход сельхозугодья вида i на единицу отрасли j;

A_i – площадь сельскохозяйственных угодий вида i.

Похожие ограничения ресурсного типа можно записать по труду, капиталовложениям, техническим средствам и т.д.

Если площадь посева какой-либо сельскохозяйственной культуры задается в определенных границах (скажем, озимые зерновые должны составлять не менее 100 га, яровые – не более 250 га, картофель – не более 60 га), то развернутая запись осуществляется с использованием трех ограничений:

Эти математические соотношения составляют вторую группу однородных ограничений и их структурный вид следующий:

где – соответственно минимальный и максимальный размер отрасли растениеводства вида j.

Предположим, что кооперативу доведено обязательное задание по сбыту продукции в счет договорных поставок (зерна – 4500 ц, картофеля – 3000 ц). Рассчитанная урожайность, предназначенная для продовольственных целей, составляет: озимые – 22 ц/га, яровые – 20 ц/га, картофель – 130 ц/га. Математическая запись условий по обязательной реализации продукции осуществляется чаще всего по нижней границе:

В структурной модели такие однородные группы ограничений имеют одну обобщенную запись:

где I₁ – множество видов реализуемой продукции;

d_ij – выход товарной продукции вида i с единицы отрасли j;

D_i – объем реализуемой продукции вида i в счет договорных поставок.

Рассмотрим ситуацию, связанную с определением объема продукции, которая может быть реализована по рыночным каналам. Тогда вводятся две переменные (х₈, х₉), обозначающие продажу зерна и картофеля сверх договорных поставок, а развернутая запись примет следующий вид:

22х₁+20х₂=4500+х₈;

130х₃=3000+х₉.

В этом случае структурная запись будет следующей:

где х_i – сбыт продукции вида i в счет рыночных продаж.

При моделировании и решении прогнозных задач используют ряд универсальных приемов, которые позволяют без ущерба для ответа облегчить получение результата. Рассмотрим некоторые из них:

а) метод суммирования коэффициентов. Его суть рассмотрим на примере расчета оптимального расхода кормов для отдельных животных. Предполагается, что известны минимальные и максимальные нормы скармливания каждого корма. В этом случае вводится новая неизвестная, обозначающая добавку корма к минимальной норме (т.е. скользящая переменная). В результате решения задачи, получая значение конкретных добавок, можно определить оптимальную норму по формуле:

где – минимальная норма скармливания корма вида h животным вида j;

х_hj – добавка корма h животным вида j;

х_j – поголовье животных вида j.

Например, х₂₅ – поголовье коров, голов; х₃₀ – добавка сена к минимуму, ц; минимальная норма расхода сена – 12 ц. Результаты решения задачи показали, что х₂₅ = 300; х₃₀ = 900. Тогда расход сена по оптимальной норме на 1 корову будет следующий:

ц;

б) метод агрегирования. Его суть состоит в том, чтобы уменьшить число переменных, т.е. векторов-столбцов задачи, и ограничений, т.е. векторов-строк. Исходя из постановки экономико-математической задачи, агрегирование проводится по тем отраслям или ресурсам, где не требуется детальной, подробной информации. Чаще всего этот прием используют для моделирования отраслей растениеводства и животноводства. Например, согласно применяемой системе земледелия в предприятии возделываются ячмень, овес, яровая пшеница (на продажу, на фураж, в обмен на концентраты). Имея информацию и средние данные по расходу ресурсов и выходу продукции с 1 га перечисленных культур, производим вычисления для определения коэффициентов при одной неизвестной – яровые зерновые. Аналогичным образом сокращается число других переменных;

в) прием поэтапного решения. Суть его состоит в том, что на первом этапе возможно определение рациональных параметров при оптимизации внутрихозяйственной специализации отдельных сельскохозяйственных подразделений. Данная информация будет являться входной для решения задачи второго этапа при планировании развития сельскохозяйственного объекта.