Основы алгебры логики и выполнения логических операций

 

Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых устройств служит алгебра логики, в которой любая переменная может иметь состояние "0" - логический ноль или "1" - логическая единица.

В случае с одной переменной в алгебре логики действуют следующие правила, характеризующие операции:

1. Логическое сложение (дизъюнкция)

Х + 0 = Х, Х + 1 = 1, Х + Х = Х, Х + = 1

2. Логическое умножение (конъюнкция)

Х · 0 = 0, Х · 1 = Х, Х · = 0

В случае двух или более переменных при анализе и преобразовании логических выражений используются следующие основные законы и тождества:

1. Переместительный закон.

Х₁ + Х₂ = Х₂ + Х₁;

Х₁ · Х₂ = Х₂ · Х_1.

2. Сочетательный закон.

(Х₁ + Х₂) + Х₃ = Х₁ + (Х₂ +Х₃);

(Х₁ · Х₂) · Х₃ = Х₁ · (Х₂ · Х₃).

3. Распределительный закон.

Х₃ (Х₁ + Х₂) = Х₃ · Х₁ + Х₃ · Х₂ ;

Х₁ + Х₂ · Х₃ = (Х₁ + Х₂) (Х₁ + Х₃).

4. Закон поглощения

Х₁ (Х₁ + Х₂) = Х₁;

Х₁(Х₁ + Х₂) (Х₁ + Х₃) +... + (Х₁ + Хn) = X₁.

5. Закон склеивания

(Х₁ + Х₂) (Х₁ + ₂) = Х₁;

Х₁Х₂ + Х₁Х₂ = Х₁.

6. Закон де Моргана

= ₁ + ₂ ; ;

Х₁ + Х₂= ; Х₁ Х₂=

 

Используя законы и тождества алгебры логики, можно сложное выражение привести к нормальной форме, содержащей сумму произведения или произведение сумм логических переменных. Логическое устройство, выходные функции которого однозначно определяются входными логическими функциями, в тот же момент времени называется комбинационным. Создание логических комбинационных устройств осуществляется по схеме:

- по условию задачи составляется таблица истинности;

- по таблице истинности составляется логическое уравнение;

- производится минимизация функции;

- составляется логическая схема.

Пример. Дана функция y= (x₁, x₂) заданой таблично (табл.1.)

Номер набора	Х1 Х2 У	Минтермы	Макстермы
	0 0 0	Х1 *Х2	Х1 + Х2
	0 1 1	Х1 *Х2	Х1 + Х2
	1 0 1	Х1 *Х2	Х1 + Х2
	1 1 0	Х1 *Х2	Х1 + Х2

Логическая функция, заданная таблично или аналитически, может быть изображена на карте КАРНО, пердставляющей собой прямоугольник, разбитый на 2^m клеток, где m - число аргументов функции. Если функция записана в СДНФ, то в клетки карты Карно, которые соответствуют минтермам, записываю единицы, а в остальные клетки записывают нули. При записи в СКНФ в клетки карты Карно, которые соответствуют макстермам, вписываются нули, в остальные клетки записывают единицы. На рис.2 показано такое отображение карт Карно.

Х₂ Х₂ Х₂ Х₂

		Х1 Х1
		Х1 Х1

Минимизация логических функций. Упрощение логических функций или их минимизация – это нахождение из всех возможных форм представления ЛФ такой формы, при которой обеспечивается минимум целевой функции (аппаратных затрат, быстродействия, экономичности и т.д.).На практике для этого используютя либо аналитический метод, либо карты Карно.

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с лабораторным стендом УМ11.

2. Синтезировать минимизированную функционально-устойчивую комбинационную логическую схему, алгоритм функционирования которой задан следующей таблицей истинности (табл. 2)(по вариантам).

 

	Х1	Х2	Х3

 

3. По таблице истинности составить уравнение y= (x₁, x₂ , x₃) в совершенной дизъюктивной нормальной форме.

4. Провести минтмизацию ЛФ по карте Карно.

5. Построить минимизированную функцию в базе И-НЕ.

 

В отчете представить:

 

1. Материалы, относящиеся к минимизации ЛФ, структурная схема.

2. Составить схемы реализации элементов И, ИЛИ на базе элементов И-НЕ, и

проверить правильность их функционирования.

3. Выводы.