Устойчивость дискретной системы

Шаг 1. Нужно записать уравнение дискретной САУ в форме (можно принять внешнее воздействие = 0, т.к. факт устойчивости – внутреннее свойство системы, от внешнего воздействия не зависит). Шаг 2. Найти корни характеристического уравнения

(корни могут быть действительными и/или попарно комплексно-сопряженными, общее число корней k). Шаг 3. Установить факт устойчивости по теореме: в устойчивой дискретной САУ все корни должны лежать внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости: т.е. для всех q_i, i = 1,…, k . Здесь Re(…), Im(…) – соответственно действительная и мнимая часть корня. Если хотя бы для одного корня , САУ неустойчива. ВНИМАНИЕ: в отличие от систем с непрерывным временем анализ устойчивости НЕ ориентируется на знак вещественной части корней!

Граница устойчивости нейтрального типа имеет место, если все корни характеристического уравнения – внутри единичного круга, кроме единственного, находящегося на действительной оси комплексной плоскости в точке пересечения с окружностью единичного радиуса. В системе, находящейся на границе устойчивости нейтрального типа, выход объекта после снятия внешнего воздействия не возвращается в нуль, но и не уходит в бесконечность.

Граница устойчивости колебательного типа имеет место, если все корни характеристического уравнения – внутри единичного круга, кроме пары корней, лежащих на окружности единичного радиуса (не в точке пересечения с действительной осью). В системе, находящейся на границе устойчивости колебательного типа, выход объекта после снятия внешнего воздействия периодически изменяет знак дискретного сигнала (аналог незатухающих колебаний в непрерывных системах).

К примерам из тестов Минвуза об устойчивости дискретных систем

Пример: уравнение динамики САУ , в нем внешнее воздействие (=10) при анализе устойчивости не учитывается. Характеристическое уравнение: . Корни система устойчива.

Пример из тестов Минвуза: В замкнутой системе, описываемой разностным уравнением , где Т – период квантования, n= 0,1,… – дискретное время, g(…) –входная переменная, y(…) – выходная переменная, найти корень характеристического уравнения. Решение: корень находится из уравнения q – 0.2 = 0, т.е. q = 0.2.

Установившееся значение выхода дискретной САУ при постоянном входном воздействии. Задача имеет смысл только для устойчивой системы. Для расчета нужно положить и решить соответствующее алгебраическое уравнение относительно установившегося значение выхода y _уст. Пример: уравнение динамики САУ . Полагаем , получим , отсюда