Векторное пространство

Контрольные вопросы:

1. Линейное пространство. Векторное пространство.

2. Свойства линейных операций над векторами.

3. Скалярное произведение двух векторов. Некоторые приложения скалярного произведения.

4. Евклидово пространство.

5. Векторное произведение двух векторов. Некоторые приложения векторного произведения.

6. Смешанное произведение трех векторов.

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

1. Линейное пространство. Векторное пространство.

Совокупность векторов одной размерности называют системой векторов и обозначают:

(1)

Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

(2)

Если равенство (2) для данной системы векторов (1) возможно лишь при , то такая система векторов называется линейно независимой.

Максимально независимой подсистемой системы векторов (1) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий условиям: 1) векторы этого набора независимы; 2) любой вектор системы (1) линейно выражается через векторы этого набора.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

2. Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1°. х+у=у+х – коммутативное (переместительное) свойство сложения.

2°. (х+у)+z=x+(y+z) – ассоциативное (сочетательное) свойство сложения.

3°. α(β х)=(αβ) х – ассоциативное свойство относительно числового множителя.

4°. α (х+у)= α х +α у – дистрибутивное (распределительное) свойство относительно суммы векторов.

5°. (α+β) х =α х +β х – дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей.

6°. Существует нулевой вектор 0 =(0;0;…0) такой, что х+0=х для любого вектора х.

7°. Для любого вектора х существует противоположный вектор (-х) такой, что х+(-х)=0.

8°. для любого вектора х.

Отметим, что под х, у, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае множество элементов называется линейным пространством.

3. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

(3)

где φ; – угол между векторами и .

Некоторые приложения скалярного произведения.

1.Угол между векторами.

Определение угла между ненулевыми векторами и :

т.е.

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

2.Работа постоянной силы.

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (рис. 2).

 

 

Рис. 2

Из курса физики известно, что работа силы при перемещении равна , т.е. .

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

4. Евклидово пространство.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1°. ху=ух – коммутативное свойство.

2°. х(у+z)=xy+xz – дистрибутивное свойство.

3°. ( α х)у =α (ху) – для любого действительного числа α.

4°. хх >0, если х – ненулевой вектор, хх =0, если х – нулевой вектор.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

5. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов и на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 3):

(4)

Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

 

 

 

Рис. 3

Условие коллинеарности векторов:

Если , то (и наоборот), т. е.

Некоторые приложения векторного произведения.

1.Определение момента силы относительно точки.

Пусть в точке приложена сила и пусть - некоторая точка про­странства (рис. 4).

Из курса физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точ­ку и:

1) перпендикулярен плоскости, прохо­дящей через точки

2) численно равен произведению силы на плечо

 

3) образует правую тройку с векторами и .

Значит, .

 

Рис.4

2.Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью во­круг неподвижной оси, определяется фор­мулой Эйлера , где , где — некоторая неподвижная точка оси (рис. 5).

 

Рис.5

6. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное

(5)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Условие компланарности векторов.

Векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешан­ное произведение равно нулю при условии, что :

векторы компланарны.

7. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы А n -го порядка, соответствующим собственному значению λ, если он удовлетворяет матричному уравнению или .

Здесь Е – единичная матрица n -го порядка, 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений λ:

(6)

Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений:

(7)

Собственный вектор определяется до постоянного множителя.

 

З а д а н и е 1. Написать разложение вектора по векторам , , , если , , , .

Р е ш е н и е. Запишем вектор в виде линейной комбинации векторов , и : . Найдем коэффициенты , , . Для этого запишем разложение вектора в координатной форме:

Подставим координаты заданных векторов. Получим систему

решив которую, найдем коэффициенты . Т.е. .

З а д а н и е 2. Найти угол между векторами и , если , , , .

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой . Определим координаты векторов и , при этом учтем, что при умножении вектора на число, мы умножаем на это число каждую координату этого вектора, а при сложении векторов – складываем одноименные координаты: , .

Найдем скалярное произведение векторов и и их длины. , , . Подставив в формулу, получим . Отсюда .

З а д а н и е 3. Найти проекцию вектора на вектор , если , , .

Р е ш е н и е. Проекция вектора на вектор находится по формуле . Определим координаты векторов и , их скалярное произведение и длину вектора : , , , . Тогда .

З а д а н и е 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , .

Р е ш е н и е.

 

Площадь параллелограмма будем искать по формуле . Для этого найдем сначала координаты векторов и , а затем их векторное произведение. , ,

.

Вычислим модуль полученного векторного произведения, который и будет численно равен искомой площади параллелограмма:

З а д а н и е 5. Параллелограмм построен на векторах и , где , , ^ . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Р е ш е н и е.

, ,

Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда

Следовательно,

З а д а н и е 6. Компланарны ли векторы , , ?

Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:

векторы некомпланарны.

З а д а н и е 7. Точки являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Р е ш е н и е. Объем пирамиды будем искать по формуле , где , и –векторы, совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем случае такими векторами будут .

Найдем координаты этих векторов, а затем их смешанное произведение.

 

 

Теперь найдем площадь грани по формуле .

. Тогда площадь грани будет равна

Т.к. , то высота H = , опущенная на грань , равна .

З а д а н и е 8. Найти вектор , перпендикулярный к векторам и и удовлетворяющий условию .

Р е ш е н и е. Пусть вектор имеет координаты . Т. к. вектор перпендикулярен векторам и , то . Запишем все три скалярных произведения в координатной форме:

Решив полученную систему, получим, что .

З а д а н и е 9. Зная векторы и , совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершине и площадь треугольника.

Р е ш е н и е. Угол при вершине – это угол между векторами и . Вектор , тогда ,