Кривые второго порядка
Эллипс
Определение 1. Эллипсом называется линия, представляющая множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Пусть фокусами эллипса являются точки и . Обозначим сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов через (), а расстояние между фокусами через (). Тогда для любой текущей точки эллипса будет , (1) . (2) Для вывода уравнения эллипса введем декартову систему координат так, чтобы ось прошла через точки и , начало координат поместим в середину отрезка ; ось (рисунок 35)
При таком выборе системы фокусы имеют координаты ; . Так как одна сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, то . Найдем расстояние между двумя точками и подставим в (1): ; , – это уравнение эллипса. Преобразуем его. Перенесем второй корень в правую часть равенства и возведем обе части равенства в квадрат: . Преобразуем это равенство. Получим: . (3) Еще раз возведем в квадрат: . Перенесем переменные слагаемые в левую часть равенства, а постоянные – в правую: . Так как , то положим . (4) Теперь уравнение эллипса примет вид: . Разделим обе части равенства на . Окончательно получим каноническое (простейшее) уравнение эллипса: . (5)
|