Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений.

Метод Зейделя отличается от метода Якоби тем, что вычисления ведутся не по формулам (3.4), а по следующим формулам:

(3.6)

…

При решении систем нелинейных уравнений необходимо определить приемлемое начальное приближение. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными начальное приближение находится графически.

Сходимость метода Зейделя (Якоби тоже) зависит от вида функции в (3.2), вернее она зависит от матрицы, составленной из частных производных:

, (3.7)

где .

Итерационный процесс сходится, если сумма модулей каждой строки меньше единицы в некоторой окрестности корня:

,

или

Пример 3.1. Найти решение системы методом Зейделя с точностью :

(3.8)

Решение: Представим (3.8) в виде (3.5):

(3.9)

Задаем начальные приближения , .

Запишем достаточное условие сходимости и определяем , :

и

Определяем частныезначения , ,которые удовлетворяют неравенствам

и

Переходим к реализации итерационного процесса:

 

Определяем погрешностьпо формуле :

Таким образом, имеем решение: , .

Программа, реализующая решение данной задачи, представлена на рис. 3.1. Исходные данные – начальные приближения , , множители , , точность и максимальное число итераций (табл. 3.1).

 

Таблица 3.1.

Исходные данныедля к программе решения системы

нелинейных уравнений методом Зейделя

	A	B
	x0	-1
	y0	-0,7
	M1
	M2
	e	0,001
	n
	x	-1,1112
	y	-0,72245

 

 

	Sub program5() x = Cells(1, 2) y = Cells(2, 2) m1 = Cells(3, 2) m2 = Cells(4, 2) e = Cells(5, 2) n = Cells(6, 2) For k = 1 To n xk = x-(2*Sin(x+1)-y-0.5)/m1 yk = y-(10*Cos(y-1)-x+0.4)/m2 If Abs(xk-x)< e And Abs(yk-y)< e Then Cells(7, 2) = xk Cells(8, 2) = yk End End If x = xk y = yk Next k MsgBox "решение не найдено" End Sub
Рис. 3.1. Программа решения системы нелинейных уравнений методом Зейделя.