Conflicting and complementing concepts

Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 696

Система n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂,. . . , x_n

(1)

называется системой линейных уравнений n-го порядка; a_ij – коэффициенты, b_i– свободные члены системы.

Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные [7].

Прямые методы позволяют получить в принципе точное решение за конечное количество арифметических операций, однако при увеличении порядка n системы возрастает погрешность вычисления неизвестных x₁, x₂, . . . , x_n.

Итерационные методы позволяют получать решение с заданной точностью на основе алгоритмов, использующих последовательное приближение (итерацию), однако эффективность итерационных алгоритмов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости итерационного процесса.

Один из прямых методов, который достаточно просто реализуется средствами Microsoft Excel, использует вычисление обратной матрицы.

Если представить систему линейных уравнений (1) в матричном виде

, (2)

где – матрица коэффициентов,

– вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов, то решение системы (2) находится следующим образом

(3)

где – матрица, обратная к матрице .

Пример

Найти решение системы линейных уравнений

(4)

двумя методами: прямым, с использованием обратной матрицы, и итерационным. Сравнить полученные решения.