Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
ВітаміниДата добавления: 2015-10-12; просмотров: 509
Определение 1.Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного , сколь бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . (2.1) Тот факт, что a является пределом последовательности , записывают так: или . (2.2) Если предел последовательности существует, то говорят также, что последовательность сходится. Заметим, что номер N зависит от выбора , то есть . Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом: . Если изобразить числа , , и значения точками числовой оси, то получится геометрическая интерпретация предела последовательности (рис). Какой бы малый промежуток длины с центром в точке a ни взять, все точки , начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого промежутка. Особый интерес вызывает случай, когда , который рассмотрим позднее. Рассмотрим некоторые свойства сходящихся последовательностей, сформулировав их в виде теорем. Теорема 1. Если последовательность имеет предел, равный a, и , то и члены последовательности , начиная с некоторого номера. ■ Пусть и . Подберем число так, чтобы ; для этого достаточно взять . Но тогда по определению предела найдется такой номер N, что для выполняется , а, следовательно, тем более . ■ Теорема 2. Если и , то и , начиная с некоторого номера. Для доказательства следует применить предыдущее утверждение, выбрав . Теорема 3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. ■ Так как , то по определению предела последовательности для . Но , следовательно, ; откуда для . Обозначим . Тогда для всех n , что и означает ограниченность последовательности . ■ Теорема 4. Последовательность не может стремиться одновременно к двум различным пределам. ■ Предположим, что и , причем . Выберем любое число , . Так как и , то существует такой номер , что для (на основании теоремы 1). С другой стороны, так как и , то существует такой номер , что для . Тогда для N, большего и , одновременно и больше c и меньше c. Полученное противоречие доказывает утверждение. ■ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение 1.Последовательность называется бесконечно малой, если . Если в определении 1 положить , то неравенство (2.1) примет вид . Следовательно, определение бесконечно малой последовательности может быть сформулировано следующим образом. Определение 2.Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого существует такой номер N, что для . ( – бесконечно малая ) Пример 1. Последовательность является бесконечно малой. В самом деле, лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа . Заметим, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно малой последовательности (если оно не нуль) не может рассматриваться как «малое». Дело в том, что это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно выбранного числа . Вернемся к общему случаю существования предела последовательности. Если , то разность будет бесконечно малой, так как в силу (1) при . Обратно, если – бесконечно малая, то . Эти рассуждения приводят к следующему утверждению. Теорема 1. Для того, чтобы последовательность имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой. Итак, если , то , где – бесконечно малая, и обратно, если , то . Бесконечно малым последовательностям противопоставляются в некотором смысле бесконечно большие последовательности. Определение 3.Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер , что для всех номеров . Как и в случае бесконечно малых, следует заметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой не может рассматриваться как «большое». Это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа M. Пример 2. Последовательность является бесконечно большой, так как , лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа . Если последовательность бесконечно большая, то говорят также, что она имеет предел или стремится к и записывают ( ). Если при этом бесконечно большая сохраняет определенный знак, то в соответствии со знаком говорят, что или ( либо ). ( .) Существует связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями, которая устанавливается теоремой 6.
|