Приложение. Формулы для выборочных характеристик

Пусть X и Y – наблюдаемые величины, (x ₁, y ₁), …, (x_n, y _n) – n наблюдений (выборка) величин X и Y. В данном пособии были использованы следующие обозначения:

– выборочное среднее величины X (Y);

– выборочная дисперсия X (Y);

– выборочное среднее квадратичное отклонение X (Y);

– выборочная ковариация X и Y;

– выборочный коэффициент корреляции. (П-1)

.

Отметим (см., например, [5]), что () являются несмещенными оценками математического ожидания X (Y), а () являются смещенными оценками дисперсии.

Для выборочных дисперсий и ковариации справедливы следующие формулы, которые являются выборочными аналогами формул для дисперсии и ковариации:

где обозначено:

Формулы (П-2) обычно используются для вычисления и .

Подставляя выражение , полученное из формулы (4) для оценки коэффициента парной линейной регрессии, в соотношение (П-1) получим выражение для выборочного коэффициента корреляции, которое использовалось в §1.3 практической работы №1:

Формула для выборочного коэффициента автокорреляции временного ряда:

где t – момент времени, для которого вычисляется коэффициент автокорреляции, τ – временной лаг, n – число наблюдений ряда, y_j – уровень ряда в момент времени j.