Найдем точки пересечения эллипса с осями координат

Пусть , тогда находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс, а при ось пересекает эллипс в точках и .Точки , ,, и называют вершинами эллипса. Отрезки называют соответственно большая и малая оси эллипса. Числа – большая и малая полуоси. Так как в каноническом уравнении эллипса сумма равна единице, то каждое из слагаемых не превосходит единицы, следовательно имеют место неравенства

или

а это значит, что все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, образованного прямыми . А так же при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, поэтому при увеличении уменьшается , и наоборот. Поэтому форма эллипса – овальная замкнутая кривая

От отношения зависит форма эллипса, если , то эллипс становится окружностью.

Пусть , тогда фокусы и находятся на оси на расстоянии от начала координат.

Определение. Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси

называется эксцентриситетом эллипса b и характеризует степень сжатия, причем , так как .

Поскольку , то можно записать , отсюда , а это значит, что чем меньше эксцентриситет, тем менее сплющенным будет эллипс.

Если взять , то эллипс превращается в окружность.

Расстояния от точки эллипса до его фокусов называют фокальными радиус-векторами, которые определяются формулами: и .

Если же , то большая ось и фокусы и находятся на оси ,

эксцентриситет ,

фокальные радиус-векторы и .

Коэффициент сжатия:

Параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

Определение. Прямые называют директрисами.

Теорема. Если – расстояние от любой точки эллипса до какого-либо фокуса, а расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение – постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса,