Уравнение (4) является уравнением эллипса. Однако полученная форма уравнения является неудобной для пользования, поэтому обычно уравнение эллипса дается в ином видеПреобразуем уравнение (4). Пусть М(x,y) - точка эллипса, то есть равенство (4) имеет место. Перенесем первый радикал в правую часть и затем возведем обе части в квадрат:
или выделим отсюда оставшийся радикал:
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим:
Откуда
Так как по условию a>c, то a2 - c2>0. Обозначим разность a2 - c2, как величину положительную, через b2= a2 - c2. Очевидно, что b2< a2 Подставляя b2= a2 - c2 в равенство (8), получим: b2x2 + a2y2 = a2b2, и разделив последнее равенство на a2b2, окончательно получим:
Пусть теперь x и y - любые действительные числа. Рассмотрим уравнение (9). По доказанному, всякая пара чисел x, y, удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнению (9). Можно доказать, что и наобаро, всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению (9) удовлетворяет уравнению (4). Произведя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы из равенства (9) получим сначала равенство (8), затем равенство (7), которое сейчас запишем в виде: a2 ((x - c)2 + y2 = (a2 - cx)2.
|
(5)
(7)
(8)
(9)
