Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим
Заметим теперь, что в силу равенства (9) должно быть |x| a. Так как |x| a и c < a, то |cx| < a, следовательно, число a2 - cx положительно. Поэтому в правой части равенства (10) необходимо взять знак плюс. Так мы приходим к равенству (6), после чего получим равенство (5); последнее мы напишем в виде:
Отсюда
Исследуем величину (x - c)2 + y2 = x2 - 2cx + c2 + y2 (12) В силу равенства (9) имеем x2? a2. Далее |cx| < a2, cледовательно, число -2cx по абсолютному значению меньше 2a2. Наконец, также из равенства (9) заключаем, что y2 b2, то есть y2 a2 - c2 или с2 + y2 a2. В силу этих неравенств вся сумма в правой части (12) меньше 4a2, значит, корень из этой суммы меньше 2а. Поэтому величина, стоящая внутри скобок в правой части (11), положительна, следовательно, в равенстве (11) перед скобками нужно брать знак плюс. Таким образом мы получаем:
Откуда сразу следует равенство (4). Итак, уравнение (4) выводится из уравнения (9), как и уравнение (9) выводится из уравнения (4). Тем самым доказано, что уравнение (9) есть уравнение данного эллипса, так как оно эквивалентно уравнению (4). Уравнение (9) называется каноническим уравнением эллипса, это уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
|
(10)
(11)
