Непараметрические статистики малых выборок

Универсальный характер нормального (гауссова) распределения и полнота теоретических исследований, относящихся к нему, обусловливают необходимость обратиться к задаче анализа стохастического процесса, описывающего динамику изменения параметров процесса для тех случаев, когда соответствующие оценки и допущения предполагают получение анализируемых данных в виде случайных величин, распределенных по закону Гаусса. С этой целью представляется целесообразным предварительно проверить гипотезу о принадлежности исходных данных нормальной совокупности и, если такая гипотеза будет отвергнута, то найти соответствующее нормализующее преобразование выборочных данных, позволяющее решать задачу прогноза, оценку эффективности принимаемых решений и др. Заметим, что эта задача в силу ограниченного объёма исходной информации должна решаться в условиях малых выборок.

В тестах проверки небольших последовательностей случайных чисел на нормальность представляется целесообразным использовать непараметрические статистики. Порядок их формирования заключается в следующем. По выборке объёма формируется вариационный ряд . Для нормального закона распределения, используя известные соотношения

,

где – стандартная нормально распределенная случайная величина с параметрами и , можно получить непараметрическое преобразование в виде

, . (21)

Нетрудно заметить, что алеф статистики не зависят от параметров исходного (гипотетического) распределения, а зависят только от стандартных нормально распределенных величин и объёма выборки.

Для дальнейшего использования непараметрических статистик необходимо знать законы их распределения. С этой целью используем следующую теорему, приводимую без доказательств, доказательство которой произведено А.А.Клавдиевым.

Теорема 6. Пусть случайные величины и взаимно независимы и распределены одинаково нормально, тогда плотность распределения отношения имеет вид . (22)

Аналогичная теорема имеет место и для случая .

Теорема 7. Пусть случайные величины взаимно независимы и распределены одинаково нормально и пусть – вариационный ряд, где и , тогда плотность распределения статистики

(23)

имеет вид . (24)

Сформированные непараметрические статистики могут быть использованы для проверки гипотезы о принадлежности выборки нормальной генеральной совокупности. Для выборки объёма интегральная функция распределения -статистики имеет вид

, (25)

для выборок объёма интегральная функция распределения статистики (25) определяется аналогично

. (26)

Границы критической области определяются по зависимостям (25) и (26) по уровню значимости .

При этом принятие решения о виде закона распределения осуществляется на основе сравнения расчетного значения критерия с критерием .

Если , (27)

то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу.

Рассмотренный метод проверки гипотезы о виде закона распределения, основанный на использовании непараметрических статистик, дополним еще одним, использующим так называемый -критерий нормальности Шапиро-Уилка.

Порядок использования -критерия заключается в следующем. По выборке формируется вариационный ряд . Далее вычисляется сумма взвешенных с коэффициентами разностей между наибольшими и наименьшими значениями выборки, начиная с самых крайних

,

если (четное), и , если (нечетное).

Коэффициенты приведены в табл. 1.

Статистика критерия имеет вид , (28)

где .

Для получения выводов о справедливости гипотезы о принадлежности выборки генеральной нормальной совокупности необходимо задаться доверительной вероятностью и сравнить статистику с критическими значениями , приведенными в виде графика на рис.1. Гипотеза о принадлежности данной выборки генеральной нормальной совокупности случайных величин принимается при и отвергается при .

Таким образом, введенные в рассмотрение тестовые статистики позволяют идентифицировать короткие динамические ряды и малые выборки из гауссовых совокупностей по ограниченной информации. Область применения этих статистик не ограничивается только нормальными совокупностями. Если функция распределения не является функцией гауссова распределения, то можно произвести нормализацию случайных величин и использовать приведенные выше статистики и законы их распределения для идентификации законов распределения малых выборок.