Введение в теорию случайных процессов

Оглавление

Предисловие. 3

1. Введение в теорию случайных процессов. 4

2. Дискретные марковские цепи. 6

3. Корреляционная теория случайных процессов. 17

4. Условные математические ожидания. 21

5. Винеровский процесс и интегралы Ито. 22

Решения

2. Дискретные марковские цепи. 24

4. Условные математические ожидания. 42

5. Винеровский процесс и интеграл Ито. 45

Ответы (Дискретные марковские цепи) 47

Предисловие

Предлагаемый сборник задач предназначен для использования на семинарских занятиях по курсу «Теория случайных процессов» для студентов механико-математического факультета. Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, винеровским процессом, интегралом Ито и стохастическими дифференциальными уравнениями. Отдельный раздел посвящен очень интересной теме – условные математические ожидания относительно σ – алгебры. Для части задач приведены решения. При составлении сборника использовались и известные задачи, возникшие в результате педагогической деятельности авторов.

Авторы будут благодарны за любые замечания, способствующие улучшению данного пособия.

Введение в теорию случайных процессов

Задачи

1. Является ли событием множество ?

2. Является ли событием множество ?

3. Является ли событием множество существует}?

4. Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x 0 t 2 + x 1 t + x 2, t Î (a, b), непрерывны в обычном смысле почти наверно на (a, b)?

5. Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x 0 t 2 + x 1 t + x 2, t Î (a, b), дифференцируемы в обычном смысле почти наверно на (a, b)?

6. Является ли множество {w: Уравнение x 0(w) t 2 + x 1(w) t + x 2(w)=0 имеет действительные корни} событием?

7. Является ли событием множество {w: Траектории процессов = x 0(w) t + h 0(w) и = x 1(w) t + h 1(w) параллельны}?

8. Является ли событием множество {w: Траектории процессов = x 0(w) t + h 0(w) и = x 1(w) t + h 1(w) перпендикулярны}?

9. Пусть случайные величины h 1 и h 2 равномерно распределены на отрезке [-2; 2] и независимы. Чему равна вероятность Р(Траектории процессов tg(h 1) t и tg(h 2) t образуют острый угол меньше 45°)?

10. Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1; 1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h× t образует с положительной полуосью О х острый угол больше 60°)?

11. Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1; 1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h× t образует с положительной полуосью О х угол по модулю меньше 60°)?

12. Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1; 1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h× t образует с положительной полуосью О х угол по модулю меньше 30°)?

13. Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1; 1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h× t образует с положительной полуосью О х угол по модулю больше 30°)?

14. Пусть случайная величина h имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно математическое ожидание где действительные числа?

15. Пусть случайные величины x и h независимы и имеют функции распределения Fx (x) и Fh (y) соответственно. Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса (t) = x t + h.

16. Пусть случайные величины x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1; 0] и h – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса z(t) = x t + h.

17. Пусть случайные величины x и h независимы и имеют плотности распределения рx (x) и рh (y) соответственно. Для процесса z(t) = x t + h (1– t)найти плотность .

18. Пусть x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1, 0] и h – равномерное на [0, 1]. Описать траектории случайного процесса z(t) = x t + h.