Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условные математические ожидания. 1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то





 

1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то

Другое решение. Определяемая случайной величиной IB s -алгебра FВ состоит из 4 множеств: W, Æ, В и . Тогда

. Так же

. Очевидно, что вообще для любой случайной величины x и . Наконец,

.

Таким образом, если положить , то

F .

12) Так как h – дискретная случайная величина с распределением Р(h = а)=1, то рассмотрим , где. Если b = a, то , и так как Р(А) = 1, то

.

Действительно, вероятностные меры Р и РА совпадают, потому что для любого события С, так как .

Другое решение: Определяемую случайной величиной h s -алгебру Fh можно считать состоящей из двух множеств: W и Æ. Так как и , то Fh .

13) Определяемая случайной величиной h s -алгебра Fh порождается событиями и всеми борелевскими множествами, принадлежащими [1/2;1], т.е. Fh = {[0;1/2] B; B}, где B Î (1/2; 1] – борелевское.

Если А [0;1/2] = Æ, А Î Fh то

. (1)

Если А Ç [0;1/2] = Æ, А Î Fh, то

. (2)

Рассмотрим теперь искомое условное математическое ожидание . Эта случайная величина должна быть Fh -измерима.

Докажем, что она почти наверно постоянна на [0;1/2]. В самом деле, если a и b – два значения z на [0;1/2], то должно пересекаться с [0;1/2]. Но ни одно собственное подмножество [0;1/2] не включается в Fh. Следовательно, . Точно так же . Отсюда следует, что а = =b, т.е. z на [0;1/2] постоянна почти наверно.

Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве z можно взять

. (3)

14) Рассмотрим сначала структуру s -алгебры Fh, определяемой случайной величиной h. По определению эта s -алгебра порождается множествами , где В – любое борелевское множество на числовой прямой R. Пусть у Î В. Тогда оба решения уравнения принадлежат , т.е. это подмножество отрезка [0;1] должно быть симметричным относительно центра 1/2. Но это значит что любое подмножество, являющееся элементом Fh будет симметричным относительно 1/2. (См. рис.)

Возьмем теперь любое А Î Fh . Пусть .

Тогда .

Сделаем в интеграле по А2 замену w ® 1–w и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда

.

Так как постоянная функция очевидно измерима относительно Fh, то .

Интуитивно этот результат очевиден: он дает среднее значение случайной величины x в двух симметричных относительно 1/2 точках: и .

15) Найдем последовательно маргинальную плотность рh (y) и условную плотность р(x | h) (y):

;

.

Отсюда получаем

.

 






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 231. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия