Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех простых

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех простых, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов испытания:

Возможны случаи:

1. - вероятность достоверного события;

2. - вероятность невозможного события;

3. - вероятность случайного события.

Вероятность события есть неотрицательное число из интервала [0, 1]

.

Пример 1.1. В урне находятся 12 белых и 6 красных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение: Пусть A - событие, состоящее в том, что вынутый шар белый.

=12+6=18 - число всех равновозможных исходов опыта;

=12 – число исходов, благоприятствующих событию .

Следовательно, по формуле ;

.

Пример 1.2. При перевозке ящика, в котором содержались 31 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно, какая. После перевозки наудачу извлечена одна деталь, она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна:

а) стандартная деталь;

б) нестандартная деталь.

Решение:

а) извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна, могла быть потеряна любая из остальных деталей n= (31-1+10)=40;

среди них стандартных m= (31-1)=30;

Таким образом, ;

б) среди n= 40 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных, т.е. m= 10, тогда .

Задания для самостоятельной работы:

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

2. Найти вероятность того, что в наудачу написанном двузначном числе цифры разные.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

 

В задачах на классическое определение вероятности для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов используются формулы комбинаторики.

1. Размещения, если комбинации отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования. Их число находится по формуле:

2. Сочетания – это комбинации, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Их число определяется по формуле:

3. Перестановки – это комбинации из n элементов по n, которые отличаются только порядком расположения элементов. Их число определяется по формуле:

4. Если при выборе m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещение с повторениями. Их число вычисляется по формуле:

Пример 1.3. В группе студентов 10 учебных предметов и 5 различных занятий в день. Сколькими способами могут быть распределены занятия в один день?

Решение: n= 10; m= 5

Пример 1.4. В группе 25 студентов. На профсоюзное собрание выбирают делегацию из 3 человек. Сколькими способами может быть выбрана эта тройка?

Решение:

Пример 1.5. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов.

Решение:

Пример 1.6. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры:

а) 2, 5, 7, 8 б) 0, 1, 9?

Решение:

а) ;

б) если пятизначное число состоит из цифр 0, 1, 9, то первую цифру можно выбирать двумя способами, каждую из оставшихся можно выбирать тремя способами. Согласно правилу вычисления можно записать:

,

или .