Теплоёмкость идеального газа.Для того чтобы воспользоваться формулами (63,64) найдем значения входящих в них частных производных из уравнения Менделеева-Клапейрона. Pv=RT Продифференцируем это уравнение p dv + v dp = R dT, откуда имеем (65) (66) В предыдущем параграфе было получено - справедливо для реального и идеального газа. Подставим в это выражение значение для идеального газа: (67) Таким образом, внутренняя энергия идеального газа от величины объёма не зависит, т.е. U¹U(v). Исследуем вопрос зависимости внутренней энергии идеального газа от величины давления. , где - изотермическая сжимаемость, которая является конечной величиной, т.е. . (68) Из (68) следует, что U≠U(P) Таким образом, внутренняя энергия идеального газа не зависит от величины давления, следовательно, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры газа. Внутренняя энергия- это функция состояния, поэтому dU- дифференциал функции состояния. Любая функция состояния может быть выражена через любое сочетание термодинамических параметров состояния системы. Внутренняя энергия может быть выражена как U=U(T,v), по правилам математики полный дифференциал функции двух переменных запишется следующим образом: (69) (61) Так как таким образом, для идеального газа получаем dU = cv dT откуда (70) Для идеального газа полная производная изменения внутренней энергии определяется Для того чтобы взять интеграл нужна связь между Cv и Т. Если в диапазоне температур T1 и T2, cv взять средним значением, то DU = (T2-T1) (72) А абсолютное значение запишется: (73) где U0 – постоянная интегрирования. Массовая изобарная теплоёмкость идеального газа определяется из формулы (63) , из формул (65,66) частные производные: (65) (66) После подстановки (65,66) в (63) получим Окончательно: (74) Формула (74)- уравнение Майера. Из этой формулы следует, что массовая изобарная теплоёмкость больше на величину удельной газовой постоянной (R) массовой изохорной теплоёмкости идеального газа. В случае мольных теплоёмкостей уравнение Майера запишется в виде: (75) где Rm = 8314 из формулы (75) следует, что молярная изобарная теплоемкость больше молярной изохорной теплоемкости на величину универсальной газовой постоянной. Обозначим через (76) K- Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). K, показывает во сколько раз изобарная теплоемкость больше изохорной. Так как по уравнению Майера изобарная теплоемкость всегда больше изохорной, то K всегда больше единицы (K>1). Как показали эксперименты, с ростом температуры показатель адиабаты слабо убывает поэтому в инженерных расчетах показатель адиабаты берут в среднем значении так для двухатомных газов, включая воздух который на 79% состоит из N2 и примерно на 21% из О2, берется значение K»1,4.
|