Энтопия. Общие формулы для энтропии идеального а реального газов.Энтропия на опыте не определяется, поэтому нужно получить формулы, позволяющие вычислить её значение. Энтропиею называют «тенью энергии», и она, как U, является функцией состояния, т.е. dS – полный дифференциал. Любую из функций состояния можно выразить через любое сочетание термодеформационных параметров состояния, например для термодеформационной системы энтропия может быть выражена через любые сочетания: S=S(T,v); S=S(T,v); S=S(P,v) Получим первую группу функций для вычисления энтропии, полагая, что энтропия выражается через сочетание S=S(T,v). I. S = S(T,v), по правилам математики полного дифференциала функции двух переменных можно для нашего случая записать:
, ранее была получена формула (77) , с ее учетом получим: Частная производная относится к третьему типу Окончательно получим формулу для вычисления энтропии любого газа (реального и идеального) в любом процессе: (88) Как частный случай рассмотрим идеальный газ: (89) Найдем неопределенный интеграл формулы (89): . Пусть - среднее значение массовой изохорной теплоёмкости, тогда (90) где . Рассмотрим адиабатный обратимый процесс(S=const). Проанализируем формулу (90), так как левая часть должна равняться правой части, а , являются const, то выполняется условие: (91) (91)- уравнение адиабаты идеального газа, одно из трех уравнений Пуассона. Для практики наибольший интерес представляет не абсолютное значение S, а её изменение dS. (*) – возьмём определённый интеграл: а) Пусть получим: (92) из неё можно получить частные зависимости: (93) (94) Энтропия – мера неупорядоченности системы. По 3-ему закону термодинамики (следствие тепловой теоремы Нернста) абсолютный ноль температур не достижим, поэтому при T®0 и S®0, но не будет равняться нулю.На практике нулевое значение энтропии может быть задано произвольно. Условились за начало отсчёта энтропии принимать 0,1°С. Тогда, полагая, что при нормальных условиях S=0 (Рн=101325Па, Tн=273,15 K). Примечание: в инженерной практике, начало отсчета внутренней энергии U и энтальпии также полагается нормальные физические условия. Удельный объем при НФУ из уравнения Менделеева-Клапейрона(pv=RT) определяется по этой формуле: Если в формуле (92) вместо Т1 и v1 взять их значение при НФУ и опустить индексы, как ненужные, то получим формулу: Примечание: По закону Авогадро один Кмоль любого газа при одинаковых условиях занимает один и тот же объём, при нормальных физических условиях 1 Кмоль любого газа занимает объём равный 22,4 м3. Во всех вышеприведённых формулах cv – массовая изохорная теплоёмкость – бралась средним значением. Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкости от температуры, т.е. cv=c0v+aT подставим (95) тогда ; . Принимая за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулы для расчёта энтропии: , Получим вторую группу формул для расчёта энтропии: II. S = S(T,p), алгоритм вывода аналогичен группе 1 (99) (99)- изменение энтропии любого газа (идеального и реального) в любом процессе). Частный случай. Рассмотрим идеальный газ: (100) Найдем неопределенный интеграл из формулы (100): . Пусть - среднее значение массовой изобарной теплоёмкости, тогда: , здесь: . Рассмотрим адиабатный обратимый процесс(S=const). При выполнении равенства требуется чтобы: (101) Одно из трех уравнений Пуассона. Вернемся к формуле (100) и возьмем определенный интеграл, и получим: (102) Из формулы следует два частных случая: (103) , (104) Если взять за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулу: (105) Следует два частных случая: (106) (107) Для случая линейной зависимости теплоемкости от температуры получим зависимости: , Отсчитывая энтропию от НФУ получим: (108) Получим третью группу формул: III. S = S(p,v), алгоритм вывода аналогичен первому и второму. (109) (109)- справедлива для любого газа в любом процессе. Рассмотрим идеальный газ (уравнение не упрощается): , (66) После подстановки получим: ; Окончательно: (110) Найдем неопределенный интеграл формулы (110): +S0 Пусть ; , где k – показатель адиабаты. Рассмотрим адиабатный обратимый процесс (S=const, dQ=0): (111) (111)- уравнение адиабаты идеального газа, или уравнение Пуассона. Таким образом, имеем три уравнения Пуассона: ; ; . Возьмём определённый интеграл формулы (110): (112) Полагая за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулу: (113) где Частные случаи: p=const: , v=const: , Вышеприведённые формулы получены в предположении постоянства теплоёмкости. Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкости: 1) cv=c0v+aT, cp=c0p+aT, где c0v, a, c0p – постоянные. Найдём значение =?: (114) Найдем определенный интеграл формулы (114): (115) Частные случаи: (116) (117) (118) Преобразуя формулу (118) получим: Окончательно: Полагая, что S=0 при нормальных физических условиях, получим: (119)
|