Определение линейного пространстваЛинейные пространства. Базисы Определение линейного пространства Рассмотрим некоторое поле K и множество X. Определение 1. Множество X называется линейным пространством над полем К, если: I. В множестве X определены операции: 1. Cложения (внутренний закон композиции) , ставящая в соответствии любым двум элементам вектор , причем выполняются следующие аксиомы: 1) cложение коммутативно, т.е. для любых ; 2) cложение ассоциативно, т.е. для любых ; 3) в множестве X существует нулевой элемент 0 такой, что при любом x из X; 4) в множестве X для любого элемента x существует противоположный элемент –x такой, что ; 2. Умножения элементов множества X на числа поля K (внешний закон композиции) , ставящая в соответствие любым элементам , вектор , причем выполняются следующие аксиомы: 1) при любом и любых ; 2) при любом . II. Для операций сложения и умножения выполняются условия дистрибутивности: 7) при любом и любых ; 1) a (x+y)= ax+ay при любых x,y из X и любом . Отметим, что свойства 1)-4) означают, что X – абелева группа (с аддитивной формой записи операции). Если K = R, то линейное пространство X над полем R называется вещественным линейным пространством. Линейное пространство X над полем C называется комплексным линейным пространством. Задача 1. Доказать, что множество упорядоченных наборов из n чисел поля K: образует линейное пространство над полем K, если положить: , для любых , . Решение. Для множества проверим выполнение свойств линейного пространства. В силу коммутативности и ассоциативности чисел поля K, которому принадлежат координаты вектора x, для элементов выполняются свойства 1) и 2), т.е.: ; = . Нулевым элементом в является вектор 0=(0,0,…,0). Тогда , т.е. выполнено свойство 3). Элементом, противоположным элементу , служит . Тогда по свойству элементов поля K выполнено свойство 4), т.е. . Аналогично проверяются свойства 5)-8) линейного пространства. Задача 2. Доказать, что множество не образует линейное пространство над полем K,если заданы следующие операции: , для любых , .
|