Если n – четное, то в пространстве число таких векторов ; если n – нечетное, то . Объединив эти два случая, получим, что число векторов .Докажем, что образуют базис. 1. Проверим линейную независимость . Составим линейную комбинацию: . 2. Для любого справедливо: . Таким образом, доказано, что – базис в линейном подпространстве M и . Задача 3. Доказать, что все n-мерные векторы вида , где a, b – любые числа поля K образуют линейное подпространство M. Найти его размерность и базис. Решение. 1. Докажем, что множество является линейным подпространством. Рассмотрим векторы , . Тогда , где , . . Таким образом, M – линейное подпространство. 1. Найдем базис и размерность M. Рассмотрим векторы , . Векторы линейно независимы (доказать самостоятельно) и для любого вектора пространства M справедливо: . Таким образом, – базис в подпространстве M и dim M =2. Задача 4. Проверить, является ли подмножество M пространства непрерывных на отрезке функций линейным подпространством, если . Решение. Рассмотрим . Тогда , . Так как сумма двух непрерывных функций является непрерывной функцией, то нам остается проверить выполнение равенства: . Рассмотрим . Таким образом, M не является линейным пространством.
Задача 5. Найти размерность подпространства . Решение. Рассмотрим многочлен : . Пусть , тогда , то есть . Рассмотрим многочлены: , , , . Данная система многочленов линейно независима, так как включает многочлены разной степени и для любого многочлена подпространства M справедливо: . Таким образом, образует базис в M и dim M = n.
Задача 6. Найдите размерность подпространства . Решение. Рассмотрим многочлен : . Пусть , тогда , . Тогда и многочлен имеет вид: . Рассмотрим следующие многочлены: , , , . Данная система многочленов линейно независима, так как включает многочлены разной степени, и для любого многочлена пространства M справедливо: . Таким образом, образует базис в M и dim M = n-1. Задача 7. Рассмотрите подпространство и докажите, что его размерность равна 2. Решение. Рассмотрим вектор . Тогда и имеет вид: . Рассмотрим векторы , . Легко проверить, что векторы – линейно независимы и для любого справедливо: . Таким образом, – базис подпространства M и dim M = 2.
Задача 9. Докажите, что кососимметрические матрицы образуют линейное подпространство M пространства всех квадратных матриц порядка n над полем R. Найти базис и размерность этого подпространства. Решение. Матрица называется кососимметрической, если . Непосредственно из определения следует, что , т.е. матрица имеет вид: . 1) Докажем, что M – линейное подпространство. Рассмотрим кососимметрические матрицы , . Согласно определению, , , . Рассмотрим матрицу . Элементы . Следовательно, - кососимметрическая матрица. Рассмотрим матрицу , где и .Элементы , т.е. , и следовательно, M – линейное подпространство. Рассмотрим матрицы подпространства M: , , , где - матрица, у которой элемент равен 1, элемент равен –1, а остальные элементы – нули. Число таких матриц равно числу наддиагональных элементов матрицы размерности : . Очевидно, что матрицы линейно независимы и любая кососимметрическая матрица представима в виде их линейной комбинации: . Следовательно, образуют базис в подпространстве M и . Определение 2. Линейное пространство X является прямой суммой своих подпространств и , если каждый вектор из X единственным образом можно представить в виде: , где . Используется обозначение . Задача 10. Докажите, что есть прямая сумма подпространства и подпространства постоянных функций . Решение. Рассмотрим функцию . Тогда справедливо представление: , где – константа, а функция . Следовательно, любой элемент можно представить в виде суммы элементов подпространств и . Докажем, что такое представление единственно. Пусть , где , . Предположим противное: существуют , ( или (и) ) такие, что . Тогда , . Рассмотрим . Так как , то . Таким образом, , . Тогда , и, следовательно, , что противоречит предположению. Таким образом, .
Задача 11. Доказать, что пространство всех квадратных матриц порядка есть прямая сумма линейных подпространств – симметрических матриц и – кососимметрических матриц. Решение. Пусть – произвольная квадратная матрица. Покажем, что ее можно единственным образом представить в виде , где и – симметрическая и кососимметрическая матрицы соответственно. Так как , то , откуда . Сложим первое и второе уравнения системы, получим , откуда . Очевидно, что , то есть матрица – симметрическая. Вычтем теперь из первого уравнения системы второе. Получим , откуда . Очевидно, что , то есть матрица – кососимметрическая. Таким образом, произвольную квадратную матрицу разложили на сумму симметрической и кососимметрической матриц, элементы которых определяются единственным образом, то есть пространство всех квадратных матриц порядка есть прямая сумма линейных подпространств – симметрических матриц и – кососимметрических матриц.
Определение 3. Пусть – совокупность линейных пространств, рассматриваемых над одним и тем же полем K. Их произведение является линейным пространством, если для любой пары элементов , из X и числа положить: , .
Задача 12. Найдите размерность произведения линейных пространств , . Решение. Рассмотрим линейное пространство . Пусть и – базис в ; и – базис в . Рассмотрим векторы пространства X вида: , , , , . Докажем, что образуют базис в X. Проверим линейную независимость системы векторов: , что в силу линейной независимости векторов и эквивалентно тому, что . Таким образом, система векторов линейно независима. Рассмотрим вектор , : , . Тогда . Следовательно, – базис в X и .
|