Расчет несимметричного режима трехфазной цепи при соединении приёмника звездой при наличии нулевого провода с Z0 ≠ 0

 

 

Три приемника электрической энергии с комплексами полных сопротивлений Z _А = (8 + j6) Ом, Z _В = (6 – j8) Ом, Z _С = (23 + j15,3) Ом соединены звездой и включены в четырехпроводную цепь трехфазного тока с линейным напряжением U_л =660 В. Сопротивление нулевого провода Z _О = 1 Ом.

Начертить схему цепи и определить напряжение на каждой фазе приемника при наличии нулевого провода, фазные, линейные токи и ток в нулевом проводе, активную, реактивную и полную мощность каждой фазы и всей цепи.

Задачу необходимо решать символическим методом.

Начертим схему цепи. В фазе А и С последовательно включены активные сопротивления и индуктивные (определяется по виду записи комплексов полных сопротивлений фаз Z _А и Z _С). В фазе В последовательно включены активное сопротивление и емкостное (определяется по виду записи комплекса полного сопротивления фазы Z _В). Схема цепи приведена на рисунке 3.1.

 

Рисунок 3.1 – Схема трехфазной цепи при наличии нулевого провода

 

При соединении обмоток звездой фазное напряжение

(3.1)

Представляем фазные напряжения в комплексном виде в алгебраической и показательной формах записи:

= 380 e ^{j 0˚} = 380 + j0 В

= 380 e ^{– j 120˚} = – 190 – j328 В

= 380 e ^{j 120˚} = – 190 + j328 В

 

Представляем сопротивления в комплексном виде в показательной и алгебраической формах записи:

Z _А = 8 + j6 = 10 e ^{j 37˚} Ом

Z _В = 6 – j8 = 10 e ^{– j 53˚} Ом

Z _С = 23 + j15,3 = 27,6 e ^{j 34˚} Ом

Определяем проводимости фаз и нулевого провода:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Вычисляем напряжение смещения нейтрали при наличии нулевого провода по формуле напряжения между двумя узлами:

(3.6)

Определяем напряжение на фазах потребителя при наличии нулевого провода:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

 

Определяем токи фазные при наличии нулевого провода (равны линейным токам при соединении потребителей звездой):

(3.10)

(3.11)

(3.12)

İ_А = 348 e ^{j 6˚} × 0,1 e ^{– j 37˚} = 34,8 e ^{– j 31˚} = (30 – j17.8) А

İ_В = 370 e ^{– j 128˚} × 0,1 e ^{j 53˚} = 37 e ^{– j 75˚} = (9,35 – j35,7) А

İ_С = 433 e ^{j 122˚} × 0,0362 e ^{– j 34˚} = 15,67 e ^{j 88˚} = (0,45 – j15,6) А

Ток в нулевом проводе по первому закону Кирхгофа для нейтральной точки:

İ₀ = İ_А + İ_В + İ_С (3.13)

İ₀ = 30 – j17.8 + 9.35 – j35.7 + 0.45 + j15.6 = 39.8 – j37.9 = 54 e ^{– j 44˚} А

По другой формуле ток в нулевом проводе (по закону Ома):

İ₀ = Ů₀ Y ₀ (3.14)

İ₀ = 54 e ^{– j 44˚} × 1 = 54 e ^{– j 44˚} А

Из вычислений видно, что ток в нулевом проводе определен правильно.

Определяем мощности мощности фаз:

(3.15)

(3.16)

, (3.17)

где = 34,8 e ^{j 31˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_А = 34,8 e ^{– j 31˚}А;

= 37 e ^{j75 ˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_В = 37 e ^{–j 75˚}А;

= 15,67 e ^{– j 88˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_С = 15,67 e ^{j 88˚}А.

= 348 e ^{j 6˚} × 34,8 e ^{j 31˚} = 11696 e ^{j 37˚} = 9357 + j7017 ВА

S_А = 11696 ВА; Р_А = 9357 Вт; Q_A = 7017 вар;

= 370 e ^{-j 128˚} × 37 e ^{j 75˚} = 13690 e ^{– j 53˚} = 8214 – j10952 ВА

S_В = 13690 ВА; Р_В = 8214 Вт; Q_В = – 10952 вар;

= 433 e ^{j 122˚} × 15,67 e ^{– j 88˚} = 6785 e ^{j 34˚} = 5647 + j3757 ВА

S_С = 6785 ВА; Р_С = 5647 Вт; Q_С = 3757 вар.

Вычислим мощность всей цепи:

(3.18)

= 9357 + j7017 + 8214 – j10952 +5647 + j3757 = 23218 - j 178 ВА

 

 

Р = 23218 Вт; Q = - 178 вар.

Эти же мощности определить по другим формулам:

Р = Р_А + Р_В + Р_С = I²_A R_A + I²_B R_B + I²_C (3.19)

Q = Q_A + Q_B + Q_C = I²_A X_A + I²_B X_B + I²_C X_C (3.20)

Р = 34,8² × 8 + 37² × 6 + 15,67² × 23 = 23218 Вт

Q = 34,8² × 6 – 37² × 8 + 15,67² × 15,3 = – 178 вар

 

3.2 Построение векторной диаграммы трехфазной цепи

 

 

Три приемника электрической энергии с комплексами полных сопротивлений Z _А = (8 + j6) Ом, Z _В = (6 – j8) Ом, Z _С = (23 + j15,3) Ом соединены звездой и включены в четырехпроводную цепь трехфазного тока с линейным напряжением U_л =660 В. Сопротивление нулевого провода Z _О = 1 Ом.

Построить векторную диаграмму цепи.

Векторная диаграмма строится на комплексной плоскости в масштабе напряжений m_U = 40 В/см и токов m_I = 2,5 А/см исходя из размеров листа формата А3.

Выписываем вектора в показательной форме записи и определяем их длину (модулей) с учетом, что векторы линейных напряжений опережают фазные на угол 30⁰:

= 380 e ^{j 0˚} В

= 380 e ^{– j 120˚} В

= 380 e ^{j 120˚} В = U_Ф / m_U =380 / 40 = 9,5 см

= 660 e ^{j 30˚} В

= 660 e ^{– j 90˚} В

= 660 e ^{j 150˚} В =660 / 40 = 16,5 см 348 / 40 = 8,7 см

370 / 40 = 9,25 см

433 / 40 = 10,825 см

54 / 40 = 1,35 см

İ_А = 34,8 e ^{– j 31˚} А 34,8 / 2,5 = 13,92 см

İ_В = 37 e ^{– j 75˚} А 37 / 2,5 = 14,8 см

İ_С = 15,67 e ^{j 88˚} А 15,67 / 2,5 = 6,268 см

İ₀ = 54 e ^{– j 44˚} А 54 / 2,5 = 21,6 см

 

 

Порядок построения векторной диаграммы.

Совмещаем вектор напряжения фазы А источника с положительной вещественной осью, так как его угол сдвига фаз равен нулю Ů_А = 380е ^j0˚.

Откладываем вектор напряжения фазы В источника в сторону отставания от вектора напряжения фазы А на 120˚, а вектор направления фазы С – в сторону опережения на угол 120˚ Ů_В = 380е ^–j120˚, Ů_С = 380е ^j120˚.

Векторы линейных напряжений источников и приёмников откладываем на комплексной плоскости с опережением векторов фазных напряжений источника на угол 30⁰ (против хода часовой стрелки). Они располагаются под углом 120⁰ относительно друг друга и длинее векторов фазных напряжений в √3 раз (1,73).Фазные напряжения источников и линейные источников и приемников представляют собой симметричную систему напряжений.

Из начала координат под углом 6˚ в сторону опережения вещественной положительной оси откладываем вектор фазного напряжения приёмника . Длина этого вектора в масштабе 8,7 см.

Аналогично с учетом углов отставания и опережения откладываются вектора фазных напряжений приёмника и длиной 9,25 см и 10,825 см соответственно. Вектор напряжения смещения нейтрали откладываем из начала координат в сторону отставания от вещественной оси на угол -44⁰.

Строим из начала координат вектора фазных токов İ_А = 34,8 e ^{– j 31˚} А,

İ_В = 37 e ^{– j 75˚} А и İ_С = 15,67 e ^{j 88˚} А длиной 13,92 см, 14,8 см и 6,268 см соответственно под углами -31⁰, -75⁰, 88⁰. Аналогично откладываем вектор тока нейтрали İ₀ = 54 e ^{– j 44˚} А длиной 21,6 см.

Проверяем векторную сумму линейных (фазных) токов, которая равна вектору тока нейтрали: İ₀ = İ_А + İ_В + İ_С

 

3.3 Расчет несимметричного режима трехфазной цепи при соединении приёмника звездой при отсутствии нулевого провода с Z₀ = ∞

 

 

Три приемника электрической энергии с комплексами полных сопротивлений Z _А = (8 + j6) Ом, Z _В = (6 – j8) Ом, Z _С = (23 + j15,3) Ом соединены звездой и включены в трёхпроводную цепь трехфазного тока с линейным напряжением U_л =660 В (нулевой проводник отсутствует, Z _О = ∞).

Начертить схему цепи и определить напряжение на каждой фазе приемника при отсутствии нулевого провода, фазные, линейные токи, активную, реактивную и полную мощность каждой фазы и всей цепи.

Задачу необходимо решать символическим методом.

 

Начертим схему цепи. В отличии от схемы рисунка 3.1 схема является трехпроводной (рисунок 3.2).

 

Рисунок 3.2 – Схема трехфазной цепи при отсутствии нулевого провода

Вычисляем напряжение смещения нейтрали при обрыве нулевого провода:

(3.21)

Определяем напряжение на фазах потребителя при отсутствии нулевого провода:

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Определяем токи фазные при отсутствии нулевого провода (равны линейным токам при соединении потребителей звездой):

(3.25)

(3.26)

(3.27)

İ_А = 280 e ^{j 67˚} × 0,1 e ^{– j 37˚} = 28 e ^{j 30˚} = (24 + j14) А

İ_В = 464 e ^{– j 171˚} × 0,1 e ^{j 53˚} = 46,4 e ^{– j 118˚} = (–22 – j41) А

İ_С = 745 e ^{j 128˚} × 0,0362 e ^{– j 34˚} = 27 e ^{j 94˚} = (–2+ j27) А

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для нейтральной точки:

İ_А + İ_В + İ_С = 0 (3.28)

(24 + j14) + (–22 – j41) + (–2+ j27) = 0

Токи определены правильно.

Определяем мощности мощности фаз:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

где, = 28 e ^{– j 30˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_А = 28 e ^{j 30˚} А

= 46,4 e ^{j 118˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_В = 46,4 e ^{– j 118˚} А

= 27 e ^{–j 94˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ_С = 27 e ^{j 94˚} А

= 280 e ^{j 67˚} × 28 e ^{– j 30˚} = 7840 e ^{j 37˚} = 6261 + j4718 ВА

S_А = 7840 ВА; Р_А = 6261 Вт; Q_A = 4718 вар;

= 464 e ^{-j 171˚} × 46,4 e ^{j 118˚} = 21530 e ^{– j 53˚} = 12957 – j17195 ВА

S_В = 21530 ВА; Р_В = 12957 Вт; Q_В = – 17195 вар;

= 745 e ^{j 128˚} × 27 e ^{–j 94˚} = 20115 e ^{j 34˚} = 16676 + j11248 ВА

S_С = 20115 ВА; Р_С = 16676 Вт; Q_С = 11248 вар.

Вычислим мощность всей цепи:

(3.32)

= 6261 + j4718 + 12957 – j17195 + 16676 + j11248 = 35894 – j 1229 ВА

Р = 35894 Вт; Q = – 1229 вар.

 

3.4 Построение топографической диаграммы трехфазной цепи

 

 

Три приемника электрической энергии с комплексами полных сопротивлений Z _А = (8 + j6) Ом, Z _В = (6 – j8) Ом, Z _С = (23 + j15,3) Ом соединены звездой и включены в трёхпроводную цепь трехфазного тока с линейным напряжением U_л =660 В (нулевой проводник отсутствует, Z _О = ∞).

Построить топографическую диаграмму напряжений при обрыве нулевого провода.

Топографическая диаграмма строится на комплексной плоскости в масштабе m_U = 50 В/см с учетом размеров листа формата А3.

Выписываем вектора в показательной форме записи и определяем их

 

длину (модулей) с учетом, что векторы линейных напряжений опережают фазные на угол 30⁰:

= 380 e ^{j 0˚} В

= 380 e ^{– j 120˚} В

= 380 e ^{j 120˚} В = U_Ф / m_U =380 / 30 = 12,67 см

= 660 e ^{j 30˚} В

= 660 e ^{– j 90˚} В

= 660 e ^{j 150˚} В =660 / 30 = 22 см 280 / 30 = 9,33 см

464 / 30 = 15,47 см

745 / 30 = 24,83 см

372 / 30 = 12,4 см

Порядок построения топографической диаграммы.

Совмещаем вектор напряжения фазы А источника с положительной вещественной осью, так как его угол сдвига фаз равен нулю. Ů_А = 380е ^j0˚.

Откладываем вектор напряжения фазы В источника в сторону отставания от вектора напряжения фазы А на 120˚, а вектор направления фазы С – в сторону опережения на угол 120˚. Ů_В = 380е ^–j120˚; Ů_С = 380е ^j120˚.

Соединяя концы вектора фазных напряжений источников, получим векторы линейных напряжений источников.

Векторы линейных напряжений одинаковы, так как генераторы индуктируются симметричные ЭДС, следовательно, и напряжения симметричны. Из начала координат под углом 44˚ в сторону отставания от вещественной положительной оси откладывается напряжение смещения нейтрали

U'₀ = 372e ^{– j44˚} В. Длина этого вектора в масштабе 12,4 см.

Соединяя конец вектора напряжения смещения нейтрали с началами век-

торов фазных напряжений источников, получаем векторы фазных напряжений приемников электрической энергии Ů"_А; Ů"_В; Ů"_С. Точка 0', в которой сходятся начала векторов напряжений приемников, есть нейтральная точка приемников электрической энергии, а точка 0, в которой сходятся начала векторов фазных напряжений источников, есть нейтральная точка источников электрической энергии.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

В курсовой работе проведен расчёт линейных цепей постоянного тока, однофазных цепей переменного тока при различных способах соединения, трёхфазной цепи переменного тока при несимметричном режиме работы и соединении приемников по схеме звезда. В результате расчетов проверено, что решение одной и той же задачи различными методами дает одинаковый результат.

При расчете цепей переменного тока можно использовать те же методы расчета как и в цепях постоянного тока, заменив параметры цепи символами, т.е. представив их в виде комплексных чисел. Такая замена позволяет упростить расчеты. Результаты расчета становятся более наглядными, если построить векторные или топографические диаграммы цепей переменного тока или потенциальные диаграммы цепей постоянного тока.

 

 

 

Список использованных источников

 

1. Евдокимов, Ф. Е. Теоретические основы электротехники / Ф.Е.Евдокимов. – М.: Высшая школа, 1981. – 380 с.

2. Попов, В. С. Теоретическая электротехника / В.С.Попов. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 425 с.