Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями
Модуль объемной упругости К, также называемый модулем всестороннего сжатия, показывает, насколько сильно меняется давление при изменении объема. Он является коэффициентом пропорциональности, связывающим изменение давления и относительное изменение объема
Так как давление зависит не только от объема, но и от температуры, K определяется не только веществом, но и условиями сжатия. Наиболее важными являются адиабатический K ад и изотермический КТ модули объемной упругости. Они определяются соотношениями
В предыдущем параграфе было показано, что для идеального газа
Отсюда следует, что K ад = g KТ. Покажем, что такое соотношение между адиабатическим и изотермическим модулями объемной упругости имеет место не только для идеального газа, но и для любого однородного и изотропного вещества. При выводе будем пользоваться фактом существования уравнения состояния (не зная его конкретного вида) и первым началом термодинамики f (P, V, T) = 0, d Q = dU + PdV. Запишем первое начало термодинамики для адиабатического (d Q = 0) процесса dU + PdV = 0. Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объема U = U (T, V), возьмем ее полный дифференциал dU = (¶ U /¶ T) V dT + (¶ U /¶ V) T dV и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что (¶ U /¶ T) V = CV получим CV dT + [(¶ U /¶ V) T + P ] dV = 0. Из соотношения (4.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно (Cp – CV)(¶ T /¶ V) P. Тогда CV dT + (Cp – CV)(¶ T /¶ V) P dV = 0. (7.1) Напомним, что рассматривается адиабатический процесс, и приращения dV и dT связывают температуру и объем на адиабате. Обозначая, как обычно, СР/СV = g, можно эту связь представить в виде
Соотношение (7.2) в каких-то ситуациях может оказаться весьма полезным, но сейчас нас интересует связь давления с объемом. Рассматривая температуру как функцию давления и объема T = T (P, V), возьмем ее полный дифференциал dT = (¶ T /¶ P) V dP + (¶ T /¶ V) P dV и подставим в уравнение (7.1). После упрощений получим
или Воспользовавшись тождеством (2.4) легко убедиться, что (¶ T /¶ V) P (¶ P /¶ T) V = - (¶ P /¶ V) T. Окончательно получим Значит K ад = g KТ для любого однородного и изотропного вещества.
|
.
и 
.
.
. (7.2)
,
.
