Основные свойства функций. Функцию , определенную на симметричном относительно нуля множестве Х, называют четной, если для любого верно равенство

Четность

Функцию , определенную на симметричном относительно нуля множестве Х, называют четной, если для любого верно равенство , и называют нечетной, если для любого верно равенство

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида, или говорят, что функция свойством четности не обладает.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

Периодичность

Число называют периодом функции f(x), если для любого выполнены условия и .

Функцию, имеющую период называют периодической.

Если Т – период функции, то для любого число nT также является периодом этой функции.

Если функция имеет наименьший положительный период, то он берется в качестве основного.

График периодической функции с периодом Т функции при сдвиге вдоль оси абсцисс на Т переходит в себя.

Тригонометрические функции и - периодические с основным периодом T = , а и - с основным периодом T = p.

 

Пример 1.

Исследовать функции на четность: а) ; б) ;

в) при

Решение.

а) Функция определена при , т.е. на множестве, симметричном относительно начала координат и .

Значит, – четная функция.

 

б) Функция определена при , т.е. на промежутке, симметричном относительно 0;

Значит, - нечетная функция.

 

в) Хотя формально , но эта функция не обладает свойством четности, т.к. ее область определения несимметрична относительно начала координат.

 

Пример 2.

Определить, какие из функций являются периодическими, указать их наименьший период: а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

Решение.

а) периодическая, , т.к. у функции основной период , то , откуда ;

 

б) периодическая, , т.к. у функции основной период , то , откуда ;

 

в) непериодическая;

 

г) периодическая, ;

 

д) непериодическая;

 

е) периодическая, .

 

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

1. Исследовать функции на четность: а) ; б) ;

в) .

2. Найти основной период функции: .

 

 

Вариант 2.

1. Исследовать функции на четность: а) ;

б) ; в) .

2. Найти основной период функции:

 

Вариант 3.

1. Исследовать функции на четность:

а) ; б) ; в) .

2. Найти основной период функции: .

 

 

Ответы.

Вариант 1: 1а)четная; б)нечетная; в) общего вида; 2) ;

Вариант 2: 1а)нечетная; б) четная; в) общего вида; 2) ;

Вариант 3: 1а) четная; б)нечетная; в) общего вида; 2) .

 

 

Дополнительные упражнения.

1. Найти область определения функции: а) ;

б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Исследовать функции на четность: а) ;

б) ; в) ; г) .

3. Найти основные периоды функций: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Ответы.

 

1.а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.а) четная; б) общего вида; в) четная; г) четная.

3. а) ; б) ; в) ; г) .