ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси :
1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси
где 2. Средняя скорость:
3. Средняя путевая скорость:
где 4. Мгновенная скорость:
5. Среднее ускорение:
6. Мгновенное ускорение:
7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:
8. Угловая скорость:
9. Угловое ускорение:
10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:
где 11. Полное ускорение:
12. Угол между полным ускорением
13. Уравнение гармонических колебаний материальной точки:
где 14. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:
15. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
16. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: а) амплитуда результирующего колебания:
б) начальная фаза результирующего колебания
17. Уравнения, описывающие траекторию точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
a) б) в) 18. Уравнение плоской бегущей волны:
где y – смещение любой из точек среды с координатой 19. Связь разности фаз колебаний где 20. Импульс материальной точки с массой m, движущейся поступательно со скоростью
21. Второй закон Ньютона: где 22. Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости: где б) сила тяжести в) сила гравитационного взаимодействия где
г) сила трения (скольжения) где m - коэффициент трения, N - сила нормального давления. 23. Закон сохранения импульса:
или для двух тел (i = 2),
где 24. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:
25. Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины:
где б) гравитационного взаимодействия:
где в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:
где 26. Закон сохранения механической энергии: . 27. Работа
28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
где 29. Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс: а) стержня длины
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
где в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:
где 31. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси:
где 32. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: Решение: Координату
Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:
в момент времени t = 2 c.
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
В момент времени t = 2 c.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
Решение: Полное ускорение  тела, движущегося по криволинейной
траектории, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения
Так как векторы
Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
где
Угловую скорость найдем, взяв производную от угла поворота по времени:
В момент времени t = 4 c угловая скорость Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
Это выражение не содержит времени, следовательно, угловое ускорение данного движения постоянно. Подставляя найденные значения
Пример 3. Шар массой Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением:
где Как видноиз формулы (3), для определения
позакону механической энергии
решая совместно уравнения (2) и (3), найдем
Подставимвыражение (4) в формулу (1) и, сократив на
Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии не изменится, если шары поменяются местами. Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу
Рис. 2 Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: силы тяжести
Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:
Под действием двух моментов сил
где
После сокращения на
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому массы
Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:
где
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса:
где
откуда
Момент инерциимаховика в виде сплошного диска определяется по формуле
Изменение угловой скорости
Проверим, совпадают ли размерности правой и левой частей равенства (5). Размерность левой части:
Размерность правой части:
что совпадает с размерностью левой части. Выпишем величины, входящие в формулу (5) и произведем вычисления:
Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие. Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10 Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение Решение: Уравнение колебаний точки можно записать в виде
или
где
Циклическая частота связана с частотой
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия в момент t = 0:
откуда
или
Изменение фазы на
В случае второй формы записи получаем
или По тем же соображениям, что и в первом случае, находим
С учетом равенства (3) - (6) уравнения колебаний будут иметь вид:
где x max = 1 мм = 10-3 м , v = 10 Гц.
|
:
,
некоторая функция времени.
.
,
- путь, пройденный точкой за интервал 
. Путь 
, не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. 
.
.
.
.
.
.
.
,
- линейная скорость: 
и 
- тангенциальное и нормальное ускорения, 
- угловая скорость, 
- угловое ускорение, 
- радиус окружности.
.
:
.
,
- начальная фаза.
.
.
.
.
.
, (если разность фаз 
),
, (если разность фаз 
),
, (если разность фаз 
).
,
, 
с расстоянием между точками среды 
, отсчитанными в направлении распространения колебаний 
,
- длина волны.
:
.
,
- сила, действующая на тело.
,
- коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость), 
.
,
- гравитационная постоянная, 
и 
- массы взаимодействующих тел, r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля:
.
,
,
,
и 
- скорости тел в момент времени, принятый за начальный, 
и 
- скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
или 
.
,
,
- гравитационная постоянная, 
- массы взаимодействующих тел, r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки),
,
- ускорение свободного падения, 
- высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии 
, где 
, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:
.
,
- результирующий момент внешних сил, действующих на тело, 
- момент инерции тела относительно оси вращения.
относительно оси, перпендикулярной стержню,
.
,
.
,
и 
- момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в момент времени, принятый за начальный, 
и 
- момент инерции и угловая скорость в момент времени, принятый за конечный.
,
или 
.
, где A = 2 м, B = 1 м/с, C = 0, 5 м/с3. Найти координату 
точки в момент времени t = 2 c.
.
.
.
, где 
, 
, 
. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.
, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения 
, направленного к центру кривизны траектории (Рис. 1):
и 
(1)
в формулу (1), находим
(2)
в формулу (2) получим
, столкнулся cнеподвижным шаром массой 
(1)
– кинетическая энергия первого шара до удара, 
, 
- скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
надо найти 
(2)
(3)
(4)
.
= 80 г. (Рис. 2) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 
и сила упругости (сила натяжения нити) 
. Спроектируем эти силы на ось 
(1)
(2)
и 
относительно оси 
, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение 
. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
(3)
момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z. Согласно третьему закону Ньютона, силы 
и 
по абсолютному значению равны силам 
и 
и 
выражения для 
и перегруппировки найденных членов найдем интересующее нас ускорение.
(4)
= 480 мин-1 и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент 
(1)
- изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени 
, 
- момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (
), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению
(2)
(3)
- момент инерции маховика относительно оси z, 
- изменение угловой скорости маховика. Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим
(4)
(5)
выразим через конечную 
и начальную 
. Подставив в формулу(4)найденное выражение 
и 
, получим
(5)
= 480 мин, 
= 0, Dt = 50 с
= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график.
(1)
(2)
и 
- начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и (2). По определению, амплитуда колебаний
. (3)
. (4)
,
(5)
не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять
(6)
(7)
