Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Уметь

· проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;

· извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

· решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

· вычислять средние значения результатов измерений;

· находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

· находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· выстраивания аргументации при доказательстве (в форме монолога и диалога);

· распознавания логически некорректных рассуждений;

· записи математических утверждений, доказательств;

· анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;

· решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;

· решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

· сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;

· понимания статистических утверждений.

 

УРОК — ОСНОВНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ

 

Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися в школе является урок.

Урок — логически законченный, целостный, ограниченный опре­деленными рамками времени отрезок учебно-воспитательного про­цесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации). Урок представ­ляет собой форму организации деятельности учителя и учащихся.

Урок — это занятие с классом учеников, продолжительностью 40-45 минут. Количество таких занятий определяет учебный план шко­лы, а их содержание — госстандарт и школьные программы.

Понятие урок имеет характерные черты (основные характеристи­ки), позволяющие рассматривать его с разных позиций. Иначе, урок состоит из компонентов:

цель;

содержание;

средства и методы обучения;

организация учебной деятельности.

Главную роль среди основных характеристик урока играют цели урока: образовательные, воспитательные и развивающие. В соответ­ствии с целью урока отбирается содержание обучения, и прежде всего содержание урока. Определить цель урока, рационально отобрать учебный материал учителю помогают учебные программы, методиче­ские пособия, дидактические материалы, методические рекоменда­ции и др.

Учитель управляет всей учебной деятельностью на уроке, исполь­зуя при этом различные формы организации деятельности учащих­ся: общие (работа со всем классом), групповые (звено, группа и др.), индивидуальные. Формы организации учебной деятельности высту­пают на уроке в различных сочетаниях и последовательностях. Ог­ромная роль здесь принадлежит коллективным формам работы, ко­торые позволяют уплотнять время урока, создают ситуации взаимообучения учащихся и существенно влияют на развитие лич­ности школьника.

Рассматривая урок с точки зрения логики процесса обучения, мы приходим к понятию структура урока:

Актуализация прежних знаний и способов действий.

Формирование новых знаний и способов действий.

Применение полученных знаний на практике.

Используя понятие структура урока математики, важно выделить из множества возможных основные этапы урока:

1.Постановка цели урока перед учащимися.

2.Ознакомление с новым материалом.

3.Закрепление нового материала:

а) на уровне воспроизведения ин­формации и способов деятельности;

б) на уровне творческого приме­нения и добывания знаний.

4. Проверка знаний, умений и навыков.

5.Систематизация и обобщение изученного материала.
Отдельный урок — это только одно звено в цепи других уроков по данной теме или разделу школьного курса. Но, с другой стороны, урок и даже каждый его этап, — это нечто целое, законченное.

 

ТИПЫ УРОКОВ

 

Тип урока — понятие, связанное с варьированием структуры урока, его содержательных элементов.

В дидактике наиболее разработанными являются следующие клас­сификации:

по месту урока в системе уроков по учебной теме;

по признаку основной дидактической цели;

по способу проведения урока.

На разных уроках ставится разная дидактическая цель и дидактиче­ские задачи не могут иметь одинаковые объем и значение, поэтому различают:

урок обычный, на котором решается лишь одна дидактическая
задача (изучение нового материала, или закрепление изученного, или
контроль);

урок комбинированный (смешанный), где последовательно решаются несколько дидактических задач;

урок синтетический, на котором решаются одновременно не­сколько дидактических задач.

В практике обучения наиболее часто проводятся комбинированные уроки.

Структура такого урока включает:

Организационный момент.

Проверку знаний и умений учащихся.

Изучение нового материала.

Закрепление изученного.

Выделяют четыре основных типа уроков:

 

урок по ознакомлению с новым материалом;

урок по закреплению изученного материала;

урок проверки знаний, умений и навыков;

урок по систематизации и обобщению изученного материала.

 

В практике обучения часто говорят как о самостоятельных видах об уроках-лекциях, уроках самостоятельной работы учащихся, уроках общественного смотра знаний и др.

При рассмотрении этих уроков с точки зрения их основной дидактической цели можно увидеть, что все они являются лишь разновидно­стями одного из четырех указанных выше основных типов. Урок-лек­ция — это урок по ознакомлению с новым материалом, а урок общественного смотра знаний - урок проверки знаний, умений и на­выков и т.д.

Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификация по способам проведения уроков (урок повторения, урок-беседа, урок — контрольная работа, комбинированный урок и т.д.). Кроме того, в практике обучения учащихся математике встреча­ются специальные уроки: урок в компьютерном классе, урок по изме­рениям на местности, урок вычислений на счетных приборах, кино­урок и другие.

Характеризуя какой либо конкретный урок, часто исходят из двух классификаций - по основной его дидактической цели и по спосо­бам проведения. Например, в самом названии урок-лекция усмат­риваются и его основная дидактическая цель, и способ его проведе­ния.

Ни одна из классификаций не может всесторонне и исчерпывающе охарактеризовать урок. В качестве совета начинающему учителю мож­но рекомендовать как можно чаще посещать уроки опытных учителей, анализировать их опыт работы и практиковать наиболее рациональные приемы в своей деятельности.

 

ТРЕБОВАНИЯ К СОВРЕМЕННОМУ УРОКУ

Урок заранее продумывается учителем во всех деталях и нюансах: распределение всей работы на уроке во времени и распределение этой работы между исполнителями — учителем и учащимися, различными категориями учащихся; содержание и размещение записей на класс­ной доске и в тетрадях учащихся. До урока должны быть отобраны (из­готовлены) необходимые технические средства обучения, проверена их готовность к использованию.

Современный урок отличают: целенаправленность, наличие основ­ной дидактической цели, подчинение всех элементов урока (частных учебных задач) одной цели; рациональное построение содержания урока; оптимальный выбор средств, методов и приемов обучения и воспитания на уроке математики, обеспечивающих активное учение школьников; разнообразие форм организации учебной деятельности учащихся.

Реализация перечисленных требований обеспечивает организационную четкость урока. Такая организация урока достигается, когда учитель свободно владеет материалом урока, учебным предметом в це­лом, не тратит времени на размышления и припоминания на уроке при изложении материала, а также знает методику каждого очередного во­проса, весь арсенал вариантов, приемов и средств его изучения; знает индивидуальные особенности учащихся класса, предвидит их возмож­ные затруднения и пути их преодоления, располагает материалом для «загрузки» более сильных учащихся.

К современному уроку математики предъявляются требования:

· отбор главного, существенно значимого материала;

· научность и достоверность изучаемых фактов;

· мотивация и дифференцированность;

· соответствие педагогического замысла задачам урока;

· соответствие типа урока средствам и замыслам;

· познавательная активность учащихся;

· полноценность содержания;

· воспитание интереса к предмету математика;

· единство деятельности учителя и учащихся.

 

ОРГАНИЗАЦИЯ СОВРЕМЕННОГО УРОКА

 

Для подготовки урока учителю необходимо иметь хорошие теоретические знания по методике, подготовке и планированию урока.

Система планирования урока включает:

Годовое или полугодовое планирование.

Тематическое планирование.

Поурочное планирование.

Урок должен быть нацелен на высокие конечные результаты, на по­вышение качества и эффективности обучения.

Подготовка учителя к урокам состоит из двух этапов:

Изучение педагогической, методической литературы, анализ учебных программ, передового педагогического опыта.

Конструирование содержания учебного материала, планирова­ние занятий и создание дидактических условий.

При подготовке к современному уроку целесообразно придержи­ваться последовательности:

Сформулировать цель урока.

Подготовить содержание учебного материала.

Определить дидактические задачи урока.

Выбрать наиболее эффективные приемы и методы обучения.

Составить план урока.

Проанализировать использование дидактических средств.

В подготовке учителя к уроку центральное место занимает темати­ческое планирование. Возможная форма тематического планирования урока представлена в таблице 3.

При подготовке учителя к конкретному уроку возможно использо­вание следующей формы конспекта урока (табл. 4):

 

АНАЛИЗ УРОКА. ЕГО РОЛЬ В ИНТЕНСИФИКАЦИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

 

Анализ урока — разбор и оценка урока в целом или отдельных его сторон. Анализ урока необходим: для повышения профессионального мастерства учителя; как средство улучшения преподавания и внедре­ния чего-то нового в практику работы учителей школы; как средство контроля и обучения учителя в работе; для методической подготовки студентов; с целью оценки всех возможных сторон учебно-воспита­тельного процесса на уроке.

1. Анализ урока включает следующие положения:

2. Школа, класс, предмет, фамилия учителя.

3. Тема, образовательно-воспитательные задачи урока, последовательность изложения, средства обучения, организация обучения.

4. Организационное начало урока.

5. Организационная структура урока.

6. Анализ содержания учебного материала урока.

7. Общепедагогические и дидактические требования к уроку и их
выполнение.

8. Деятельность учителя.

9. Деятельность учащихся.

10. Общая оценка урока. Выводы.

Существуют следующие виды анализа уроков: комплексный, струк­турный, краткий, аспектный, самоанализ.

Комплексный анализ — это всесторонний анализ, позволяющий рассматривать в единстве и взаимосвязи основные характеристики урока — цели, содержание обучения, средства и методы обучения, ор­ганизацию деятельности на уроке и основные структурные элементы урока.

Структурный анализ представляет собой анализ урока с позиции по­строения его структуры, обоснованности и необходимости выбора определенного этапа урока в целях реализации основной цели урока. Анализируется каждый этап урока, рассматриваются его полезность и значимость в общей структуре учебного занятий.

Краткий анализ — анализ работы всех компонентов урока на реали­зацию основной цели урока, соответствие формы, средств, содержания урока, цели урока.

Аспектный анализ — глубокое рассмотрение урока по одному на­правлению, основанию, аспекту. Аспекты анализа бывают разнообраз­ными. Укажем некоторые из них:

— реализация цели урока (образовательная, воспитывающая, раз­вивающая);

научный уровень математического содержания урока.;

анализ общей структуры урока;

методы обучения на уроке;

формирование учебных умений и навыков учащихся;

эмоциональность подачи учебного материала;

соответствие учебного материала содержанию и требованиям про­
граммы и др.

Самоанализ — расчленение и разбор урока учителем в целях по­строения целостной системы обучения и достижения оптимального результата обучения в оптимальных условиях.

Проводя самоанализ урока, каждый учитель должен ответить на следующие вопросы:

1. Характеристика урока, его место в разделе учебного курса.

2. Каков тип урока?

3. Какие цели, задачи решались на уроке?

4. Мотивы выбора структуры урока.

5. Как распределялось время на уроке?

6. Базовое содержание учебного материала.

7. Как сочетаются выбранные формы обучения с целью урока?

8. Почему выбраны именно эти методы обучения?

9. Как осуществлялся дифференцированный подход к учащимся?

10. В каких формах и методах осуществлялся контроль знаний?

11. Какие средства обучения использовались?

12. За счет чего обеспечивалась высокая работоспособность учащихся?

13. Реализованы ли все поставленные задачи на уроке?

14. Какова интенсивность и эффективность урока?

Умение анализировать уроки является важной составляющей мето­дической подготовки учителя математики. В учебной литературе, ди­дактике, методике обучения математике содержится немало различ­ных вариантов анализа урока.

Любой вид анализа урока должен быть тесно связан с анализом его математического содержания.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

 

В процессе изучения математики учащиеся должны овладеть мно­жеством математических понятий, их свойств, отношений, а также должны уметь обнаруживать и обосновывать эти свойства, применять их при решении практических задач. Достижение этих целей учащи­мися подлежит систематическому контролю со стороны учителя и са­моконтролю.

Контроль в учебном процессе называется диагностикой. Целями ди­агностирования являются выявление, оценивание, анализ и коррек­ция учебного процесса для его эффективности.

Контроль является частью процесса обучения. Контроль знаний и умений конкретного ученика предусматривает оценку этих знаний и умений только по результатам его личной учебной деятельности.

Составной компонент контроля — проверка знаний. Кроме проверки контроль включает оценивание и выставление отметки.

В зависимости от того, кто именно осуществляет контроль за ре­зультатами учебной деятельности учащегося, выделяют три типа кон­троля: внешний (осуществляет учитель); взаимный (осуществляют уча­щиеся); самоконтроль (осуществляет сам ученик).

Основная цель контроля и оценки знаний учащихся по математике - определение качества усвоения учащимися учебного материала, уровня овладения ими знаниями, умениями и навыками, преду­смотренными учебной программой.

Диагностировать, контролировать, проверять и оценивать знания и умения учащихся по математике нужно последовательно, согласно по­рядку изучения математического материала.

Систематический контроль знаний учащихся по математике являет­ся одним из основных условий повышения качества обучения. Умелое владение учителем различными формами контроля знаний способству­ет повышению заинтересованности учащихся в изучении предмета ма­тематики, предупреждает отставание, обеспечивает активность учащих­ся на занятиях.

 

ФУНКЦИИ КОНТРОЛЯ И ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

 

Контролю знаний учащихся по математике присущи следующие функции:

Контролирующая и диагностическая функция: выявление и диагно­стика результатов обучения.

Образовательная (обучающая) функция: повышение качества знаний, их систематизация, формирование приемов учебной рабо­ты.

Стимулирующая (развивающая) функция: создание необходимой ос­новы для развития познавательной активности школьников.

Воспитательная функция: воспитание у каждого школьника чувства ответственности за результаты учения, формирование познавательной мотивации учения.

Прогностическая функция: управление процессом усвоения знаний, умений и его коррекция.

При разных целях и видах проверки эти функции могут прояв­ляться по-разному. Например, при текущей проверке усвоения учеб­ного материала по математике доминирующей должна быть обу­чающая функция, а при итоговом контроле — контролирующая.

Предъявляются следующие педагогические требования к контролю знаний учащихся. Контроль знаний учащихся должен быть:

мотивированным;

систематическим и регулярным;

разнообразным по формам, включающим всех учащихся в ра­боту;

всесторонним и объективным на основе дифференцированного подхода к учащимся;

базироваться на единстве требований учителей, осуществляю­щих контроль за учебной работой учащихся.

МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

 

Методы контроля — способы, с помощью которых определяется ре­зультативность учебно-познавательной деятельности учителя и уча­щихся.

Существуют различные классификации методов и приемов контро­ля знаний учащихся по математике. По одной из них выделяют сле­дующие методы контроля:

устные (опрос, устная контрольная работа);

письменные (математический диктант, контрольная работа, тематический реферат);

практические (опыт, практическая работа, лабораторная работа, экспериментальное задание);

зачеты;

экзамены.

По другой классификации методы контроля знаний учащихся по математике делят на группы:

текущий контроль (различные формы устного опроса, проверка до­машнего задания, проверка тетрадей, проверка с помощью перфокарт, проверка с помощью компьютера, текущие тесты на компьютере);

тематический контроль (тематическая контрольная работа, темати­ческий смотр знаний);

периодический контроль (итоговая контрольная работа, экзамены, зачеты).

 

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

 

В соответствии с формами обучения — массовой и индивидуальной — вы­деляют формы контроля: фронтальный, групповой, индивидуальный, комбинированный, самоконтроль.

Формы контроля не должны сводиться только к воспроизводящей, репродуктивной деятельности учащихся. При выборе форм контроля необходимо учитывать индивидуальные особенности учащихся по ма­тематике и их математические способности.

 

СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ. ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ

 

Говоря о средствах контроля знаний и умений учащихся, чаще всего имеют в виду задания, которые предлагаются ученикам с целью выявления результатов обучения.

В основу классификации таких средств может быть положена фор­ма вывода ответа на контролирующее задание. В этом случае выделя­ются два задания свободного выбора ответа и задания-тесты.

Тестовая форма проверки и оценки знаний учащихся в последнее время получила наибольшее распространение. Ее оперативность и чет­кость позволяют проверить знания учащихся по объемному содержа­нию образования.

Тесты делят на два вида: тесты на припоминание и дополнение; из­бирательные тесты.

Тесты на припоминание и дополнение представляют собой задания учащимся заполнить пропуски в предложенном им связном тексте. Су­ществуют два способа подачи тестов на дополнение:

запись текста с пропусками на переносной доске или на обычной карточке;

использование специализированных перфокарт.

В первом случае все пропуски нумеруются, а учащиеся записывают ответы под соответствующими номерами.

Во втором случае тест записывается на карточке, а на месте каждого пропуска вырезаются «окна», получается перфокарта. Под нее подкладывается бумага, ответы записываются в прорезях.

Избирательные тесты делят на альтернативные, перекрестного выбора и множественного выбора. Избирательный тест, например, состоит из за­дания и нескольких вариантов ответа, среди которых, помимо правильного и полного, есть правильные, но неполные, а также неправильные ответы.

Проверка производится с помощью дешифратора — точной копии тестовой карточки, изготовленной из прозрачного материала. В ней за­ранее отмечены клетки с правильными ответами.

Альтернативный тест — это задание, при выполнении которого ученик из двух предложенных ему ответов должен выбрать один (по его мнению, правильный).

При отборе и составлении средств контроля знаний и умений уча­щихся учителю, прежде всего, следует иметь в виду, что содержание за­дания должно соответствовать цели контроля.

Наряду с тестовой формой контроля, на уроках математики могут применяться разного рода игры, в частности чайнворды, кроссворды, криптограммы. Они вошли в практику обучения сравнительно не­давно, опыт их применения основательно не изучен и не обобщен, но польза, приносимая ими, их влияние на усвоение учебного мате­риала совершенно очевидны и реально ощутимы. Содержание, вкладываемое в игры, может быть различным. В основном это мате­матическая терминология, не исключены и отдельные цифровые данные.

Процесс контроля знаний и умений учащихся связан с оценкой и отметкой. Оценка — это процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как внешнее выражение оценки.

Оценка и отметка определяются знаниями и умениями ученика, ко­торые он показал в процессе контроля. Одним из показателей, по кото­рому учитель имеет возможность судить о знаниях и умениях ученика, служат погрешности, допущенные им при работе со средствами контро­ля, предложенными учителем. Погрешности делят на ошибки и недоче­ты.

Всякая оценка складывается под влиянием двух факторов: объек­тивного и субъективного. Объективный фактор - это фактический ре­зультат контроля (проверки) учебных действий ученика, а субъектив­ный - это отношение оценивающего субъекта (учителя, ученика) к оцениваемому субъекту (ученику), а также цель самого действия оце­нивания. При оценивании учебных действий ученика производится сравнение этих действий с одним из следующих:

с прошлыми действиями этого же ученика;

с аналогичными действиями других учеников;

с установленной нормой этих действий.

Соответственно можно выделить способы оценивания: личност­ный, сопоставительный, нормативный.

Оценка должна ставиться за уровень и характер знаний по матема­тике. Чем больше объективности в оценке знаний, тем больше это стимулирует учащихся и активизирует для дальнейшей учебной дея­тельности по предмету. Совершенно недопустимо влияние на оценку личностно-негативного отношения учителя к отдельным учащимся.

 

ЗАЧЕТНАЯ СИСТЕМА КОНТРОЛЯ

 

С целью систематического контроля за уровнем обучения в ходе учебного процесса учителю целесообразно выбрать такую систему контроля, как зачет. От стандартных форм контроля зачетная система отличается по характеру проведения, по системе оценивания. Зачет — это специальный этап контроля, целью которого является проверка достижения учащимися уровня обязательной подготовки. Оценка ре­зультатов сдачи зачета дается по двухбалльной шкале: «зачтено» — «не зачтено».

Зачеты необходимо проводить по каждой теме школьного курса ма­тематики. Каждый учащийся сдает все предусмотренные программой зачеты. Зачет считается сданным, если учащийся решил все соответст­вующие обязательному уровню задачи и упражнения. Зачет подлежит пересдаче, если оценка «зачтено» не выставляется, причем пересдается не весь зачет целиком, а лишь те виды задач, с которыми учащийся не справился.

Итоговое оценивание знаний ученика непосредственно зависит от результатов сдачи зачетов. Оценка является положительной при усло­вии, если все зачеты за этот период учеником сданы.

Условия организации зачетов повышают содержательность и объ­ективность итогового оценивания. Систему зачетов учитель может строить по-разному. Аналогично видам контроля зачеты можно разде­лить на тематические и текущие.

Тематические зачеты проводятся в конце изучения темы и направ­лены на проверку усвоения материала в целом.

Текущие зачеты проводятся систематически, в ходе изучения темы по небольшим, законченным по смыслу порциям учебного материала.

При любой форме зачета наиболее эффективна такая организация, когда ученик в ходе проведения зачета узнает результаты своей дея­тельности: успешно ли он справился с работой, какие ошибки допус­тил и над какими разделами учебного материала ему предстоит еще работать.

Оценка письменных контрольных работ:

Отметка «5» ставиться, если:

- работа полностью вся выполнена;

- в решении все рассужено логически и без ошибок, не допущено никаких пробелов;

- в решении нет вычислительных ошибок (возможна описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметку «4» ставят в следующих случаях:

- работа полностью выполнена, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение логически рассуждать не являлось специальной целью проверки);

- допущено пару ошибок или имеется два-три недочёта в рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным целью проверки).

Отметку «3» можно поставить, если:

- допущено более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметку «2» ставят, если:

- за грубые существенные ошибки, говорящие о том, что обучающийся не обладает определенными знаниями и умениями по данной теме в нужном объеме.

Отметку «1» ставят, если:

- выполненное задание отображает полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме, а также если он не способен выполнять задания самостоятельно.