Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы. А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.
|
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
