Приведение уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду

Запишем уравнение поверхности и кривой второго порядка в следующем виде соответственно:

,

.

При этом группу слагаемых

,

назовем квадратичной частью, а

,

линейной частью кривой или поверхности соответственно.

Для приведения уравнений к каноническому виду сначала найдем такое ортогональное преобразование неизвестных, что в новых переменных квадратичная часть (т. е. соответствующая квадратичная форма) имеет канонический вид, что соответствует повороту декартовой системы координат, при котором старые и новые координаты точки связаны формулами:

Для уравнения кривой берем и

После данного преобразования получаем уравнения вида:

,

,

для поверхности и кривой соответственно.

Вторым шагом путем группировки и выделения полных квадратов по каждой переменной, там где возможно, производят линейный перенос декартовой системы координат по формулам

 

 

после которого и изменения нумерации переменных, если необходимо, уравнение кривой или поверхности принимает канонический вид.

Подробно ход действий рассмотрим на примерах:

Пример 1:

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определить ее тип и каноническую систему координат.

.

Выделим квадратичную часть и приведем ее к каноническому виду путем ортогонального преобразования неизвестных.

Квадратичная часть имеет вид:

.

Ее матрица:

,

Собственные значения и соответствующие им собственные векторы:

,

.

Тогда преобразование (поворот системы координат) имеет вид:

,

.

А уравнение кривой в новом базисе:

.

Выделим, полный квадрат по каждой из переменных:

.

Заменой переменных, соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей

Получим

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Результирующее преобразование координат имеет вид:

,

-1.

А каноническая система координат , где

.

Пример 2

Будет рассмотрен на лекцииJ.