Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией факторов (МНКО). (МОДЕЛИРОВАНИЕ)




Один из самых старых и разработанных методов моделирования по пассивным данным – метод наименьших квадратов (МНК). Которых базируется на подборе уравнения регрессии, чтобы сумма квадратов разности между уравнением и экспериментальными данными была наименьшей из всех возможных. Для произвольной системы факторов задача нахождения обратной матрицы является довольно громоздкой даже для ЭВМ, причем трудоемкость стремительно возрастает с увеличением числа факторов. Одновременно существует еще одна проблема – при признании какого-либо из найденных коэффициентов bK незначимым следует, исключив фактор XK, всю вычислительную процедуру проделать заново с самого начала.
Проблема существенного упрощения процедуры определения коэффициентов регрессии и отсеивания факторов может быть решена путем ортогонализации факторов, т.е. подбором для каждой регрессионной задачи своей специальной системы линейно-независимых функций Y(X) таких, чтобы матрица системы нормальных уравнений (XTX) была единичной. Другими словами, каждая функция Ykj(X) из системы линейно-независимых функций Y(X) выбирается так, чтобы она была ортогональна ко всем предыдущим и нормирована на заданном множестве экспериментальных точек X kj с весами wkj. Тогда матрица (XTX)-1 также будет единичной и выражение упрощается.Теперь не только нет необходимости искать обратную матрицу, но и можно отбрасывать незначимые коэффициенты регрессии без пересчета остальных. Выбор системы функций Ykj(X) осуществляется с использованием ортогональных полиномов Чебышева таким образом, чтобы кривая Y(X) разлагалась по выбранной системе функций в ряд, быстро сходящийся в каждой точке Xkj. При этом система функций должна быть определена на этом интервале значений переменной Xk, на котором расположены экспериментальные точки. Следовательно, метод МНКО сводится к тому, что связь между выходной величиной Y и факторами Хl Y=f(x1,x2,…xi,…xn)будем искать в виде следующего полинома, включающего эффекты факторов и их взаимодействий где n – количество рассматриваемых факторов; q= 0,…,р – степень полинома, представляющий соответствующий фактор. Однако такой полином, как указывалось выше, трудно найти без предварительной ортогонализации, поэтому промежуточной целью будет поиск вспомогательного полинома следующего вида.Здесь m+1 – число членов уравнения регрессии. Имея в виду, что при обработке пассивной контрольно-измерительной информации степень каждого фактора р на практике не превышает 2, а число взаимодействий ограничивается парным, то общее число членов уравнения регрессии не будет превышать m+1£1+2n+C2n. При этом для удобства следует производить замену переменных и вместо эффектов факторов Хl и их взаимодействий вводить единую переменную Zk.Необходимо отметить, что степень полинома Yk(X) совпадает с номером столбца k рассматриваемых эффектов Zk в матрице исходных данных. Тогда именно на полиномы Yk(X) следует наложить условия

Нахождение мат. модели в МНКО и оценка ее адекватности. Достоинства и недостатки.Задача определения оценок коэффициентов bk сводится к нахождению коэффициентов Ак при ортогональных полиномах исходя из условий минимизации остаточной суммы квадратовДифференцируя по каждому коэффициенту Ак и приравнивая результат дифференцирования к нулю, получаем систему (m+1) линейных уравнений, решением которой будет выражение для расчета Ак Следовательно, вопрос о включении в уравнение каждого коэффициента Ак проверяется по критерию Стьюдента. Для этого предварительно рассчитывается среднеквадратическое отклонение очередного коэффициента Ак. В крайнем случае для оценки средней дисперсии можно взять эмпирическую дисперсию распределения выходной величины, деленную на 4 (минимальное число равнодействующих составляющих, могут дать нормальное распределение) .Величина S{Ак} подставляется в выражение для расчетного критерия Стьюдента.При выполнении условия коэффициент Ак признается значимым и должен быть включен в уравнение, в противном случае – нет.Проверка адекватности уравнения экспериментальным данным осуществляется как обычно, с помощью критерия Фишера. В случае положительного решения можно перейти к отысканию оценок bk.Простейшим методом нахождения bk является метод подстановки соответствующих конкретных значений yk(Z) и приведения подобных членов. Выражения, стоящие перед каждым Zk, являются искомыми оценками коэффициентов bk. Следует обратить внимание, что в выражении в связи с обратным отсчетом номера k=m,…,1 индексы отношения xij также изменены на обратные. Другими словами, принцип старшинства индексации для первого сомножителя числителя по-прежнему соблюдается.Анализ особенностей МНКО как в теоретическом плане, так и в плане практического применения позволяет обратить внимание на следующее.

1. В условиях пассивного эксперимента оценки коэффициентов bk в отличие от Ak являются смешанными. Однако по сравнению с МНК предложенный метод позволяет точнее оценить независимых вклад каждого эффекта в соответствующий коэффициент bk. Это обстоятельство обуславливает более высокую чувствительность МНКО по сравнению с МНК, которая тем выше, чем больше количество исследуемых факторов, причем в этот список могут входить как сильно-, так и слабо- действующие факторы.

2. Эффективность метода зависит от порядка следования факторов (эффектов) друг за другом при расчете коэффициентов модели. В случае расположения их в порядке убывания по степени значимости эффективность метода возрастает. Поэтому целесообразно перед применением МНКО предварительно расположить исследуемые факторы в порядке убывания значимости по отношению к целевой функции. Для этого можно рекомендовать воспользоваться предварительной моделью, полученной с помощью ММСБ или какого-нибудь другого метода.

 







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 953. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия