Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны

Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t. В общем случае уравнение волны определяет зависимость от координат и времени величин, описывающих волновой процесс, как для упругих волн, так и для электромагнитных волн. Часто функцию называют волновой функцией.

Выведем уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси . Как известно, в плоскости фронта волны (в плоскости и параллельных ей плоскостях) все частицы среды совершают колебания в одинаковой фазе, поэтому в уравнении волны будет отсутствовать зависимость от координат у и z: .

Для гармонической волны все частицы среды совершают колебания с одинаковой циклической частотой . Пусть в момент времени частицы среды с координатой , расположенные в плоскости , начинают совершать колебания по закону

. (6.2)

Частицы с координатой х начнут совершать ГК только после прихода к ним волны. Для этого требуется время и поэтому уравнение колебаний для таких частиц примет вид:

. (6.3)

Уравнение (6.3) представляет собой уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси . В эту формулу входит волновое число к, которое связано с круговой частотой , фазовой скоростью υ волны и ее пространственным периодом λ соотношением

. (6.4)

Волновое число к представляет собой модуль волнового вектора . Направление волнового вектора совпадает с направлением скорости распространения бегущей волны, а его модуль определяется формулой (6.4).

Покажем, что входящая в формулу (6.3) фазовая скорость волны представляет собой скорость движения фиксированного значения фазы волны. Действительно,

, (6.5)

что согласуется с формулой (6.4).

Волновым уравнением называют уравнение, решением которого является уравнение волны . Найдем волновое уравнение для волновой функции (6.3). Если взять частные производные по координате и времени t от

, ,

, ,

тогда волновое уравнение примет вид

. (6.6)

Оказывается, что решением этого уравнения, кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси , является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси :

.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором , уравнение волны и волновое уравнение запишутся следующим образом

, (6.7)

. (6.8)

Можно показать, что волновому уравнению (6.7) удовлетворяет также и уравнение сферической волны

(6.9)

Это уравнение отличается от уравнения плоской гармонической волны тем, что для сферической волны амплитуда А будет зависеть от расстояния r между точечным источником колебаний и рассматриваемой точкой пространства, а именно, амплитуда сферической волны убывает обратно пропорционально расстоянию r.

Действительно, амплитуда колебаний частиц среды определяется энергией W волны, приходящейся на единицу поверхности фронта волны (площадь поверхности фронта волны равна ) вблизи рассматриваемой точки, и поэтому

А ~ ~ ~ .

В заключение этого параграфа рассмотрим ряд примеров, поясняющих распространение плоской гармонической волны (6.3) в положительном направлении оси .

Пример 1. Записать уравнение колебаний для смещения частицы среды с координатой , равной (), около своего положения равновесия в зависимости от времени t (начальную фазу колебаний источника взять равной нулю: ). Построить график этой зависимости в пределах одного периода.

Подставляя в формулу (6.3) значение , получим

,

график этой зависимости представлен на рис. 6.5, а.

Рис. 6.5

Пример 2. Записать уравнение, описывающее положения всех частиц среды около своих положений равновесия в момент времени t=Т/2 при начальной фазе колебаний источника . Построить график этой зависимости.

Подставляя в формулу (6.3) значение , получим

,

график этой зависимости представлен на рис. 6.5, б. Из него следует, что периодом по координате является длина волны λ, т.е. через расстояние вдоль скорости распространения волны, равное длине волны λ, повторяются смещения частиц относительно своих положений равновесия.

Пример 3. Найти разность фаз колебаний двух частиц среды, отстоящих от источника колебаний на расстоянии и соответственно.

Согласно уравнению (6.3), запишем

.

Пример 4. Рассчитать отношение максимальной скорости колебаний частиц воздуха к скорости звуковой волны ( =330 м/с), если амплитуда А колебаний частиц среды равна А =0, 2 мм.

Используя для максимальной скорости колебаний формулу (5.9), получим

,

т.е. для волн звуковой частоты скорость распространения колебаний в воздухе значительно превосходит максимальную скорость колебаний частиц воздуха.