Стоячие волны. Колебания струны

Стоячей волной называют волну, образующуюся при сложении двух встречных волн одинаковой частоты и амплитуды

, .

Для простоты здесь рассмотрен случай сложения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох в положительном () и отрицательном () ее направлениях. Для уравнения стоячей волны в соответствии с формулой сложения косинусов можно записать

. (6.21)

Из формулы (6.21) следует, что амплитуда стоячей волны

(6.22)

зависит от координаты выбранной точки пространства, изменяясь от минимального значения, равного нулю, до максимального значения, равного 2 А.

Найдем координаты точек пространства (), в которых наблюдается максимальная амплитуда колебаний частиц среды, их называют пучностями стоячей волны, и координаты узлов стоячей волны (), для них амплитуда колебаний частиц среды равна нулю

(6.23)

(6.24)

Из формул (6.23) и (6.24) следует, что расстояние между соседними узлами и соседними пучностями стоячей волны одинаково и равно .

На рис. 6.7 приведены фотографии стоячей волны для трех моментов времени t=0, Т/4, Т/2. На них стрелками указаны направления движения частиц среды. Из графиков видно, что все частицы среды, находящиеся между соседними узлами, совершают колебания с разными амплитудами и с одинаковой фазой (частицы одновременно достигают положения равновесия и движутся в одну сторону). При переходе через узел фаза колебаний частиц изменяется на (частицы по разные стороны от узла одновременно достигают положения равновесия и движутся в противоположных направлениях).

Как следует из графиков, приведенных на рис. 6.7, при образовании в среде стоячей волны в среде не происходит переноса энергии от источника

 

Рис. 6.7

 

колебаний, так как положение узлов и пучностей с течением времени не изменяется; перенос энергии встречных волн одинаковый и происходит в противоположных направлениях.

Наблюдается переход потенциальной энергии колебаний, сосредоточенной в основном в узлах см. (рис. 6.7, момент времени ), в кинетическую энергию колебаний, сосредоточенную в основном в пучностях стоячей волны см. (рис. 6.7, момент времени ) и наоборот. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Действительно в соответствии с формулами (6.10), (6.12) и (6.21) для кинетической и потенциальной энергий частиц в случае стоячей волны можно записать следующие формулы

,

,

из которых видно, что наибольшая потенциальная энергия частиц наблюдается в узлах стоячей волны (), а наибольшая кинетическая энергия частиц будет в пучностях стоячей волны ().

Стоячие волны обычно образуются при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред. При этом возможны два случая. В первом случае при отражении волны от более плотной среды фаза волны изменяется на значение, равное , и на границе раздела () образуется узел стоячей волны Во втором случае при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется, и на границе раздела () образуется пучность стоячей волны

Если, например, в деревянной линейке, закрепленной на одном конце, возбудить стоячую волну, то на втором свободном конце будет либо пучность (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела дерево – воздух, рис. 6.8, а), либо узел стоячей волны (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела «дерево-вода», рис. 6.8, б). Причем на длине линейки укладывается половина длины волны.

Наиболее наглядным примером стоячей волны являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы

 

Рис. 6.8

(см. § 5.13, рис. 5.27, в и рис. 6.8, в). На длине струны укладывается целое число полуволн, что позволяет найти частоты нормальных колебаний струны (§ 5.13, формула (5.92)):

, , n= 1, 2, 3, …

Любое произвольное колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний.