Техническая реализация кода Хэмминга
Схемы кодирования и декодирования представлены на рис.5.4 и 5.5 соответственно. Устройство кодирования строится на регистре в n разрядов и r сумматоров “по модулю 2”. В ячейки 3, 5, 6, 7 вводятся исходные символы. В следующем такте формируются проверочные разряды. Закодированная комбинация может быть передана в линию последовательно или параллельно.
Рис.5.4. Схема кодирования
Рис.5.5. Схема декодирования
Циклические коды Циклическими кодами называют специальную группу кодов, для построения которых могут быть использованы циклические свойства квадратных матриц, а также коды, которые описываются неприводимыми, образующими (порождающими) многочленами (полиномами). Например, для кодовой комбинации 101101 полиномиальное представление таково:
A(X) = 1×x5 + 0×x4 + 1×x3 + 1×x2 + 0×x1 + 1 = x5 + x3 + x2 + 1.
Циклические коды относятся к систематическим (n, k) кодам, в которых контрольные r и информационные k разряды расположены на строго определенных местах: n = k + r.
Рассмотрим алгебру циклических кодов. Допустим, необходимо перемножить три многочлена (x3+x2+1)·(x3+x+1)·(x+1). Действия производятся также как в обычной алгебре, только сложение проводится по модулю 2.
При делении операция вычитания заменяется операцией сложения по модулю 2. Например, необходимо разделить многочлен седьмой степени на многочлен третей степени (x7+x5+x4+x+1) / (x3+x2+1)
Операция деления может быть произведена или в виде многочленов или в виде двоичных кодов.
Схема деления реализуется на регистрах сдвига со встроенными сумматорами по модулю 2. Вид схемы определяется многочленом, на который производится деление. В процессе деления с помощью такого устройства находится остаток.
Пример 5.5. Построить схему деления на многочлен g(x)=x3+x+1 (1011)
Рис.5.6. Схема деления на многочлен g(x)=x3+x+1
Пусть на вход подается комбинация 10110001
В процессе алгебраического деления получается остаток 001
Процесс деления с помощью устройства показан в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Вх 1 2 3 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
Циклический код получают следующим образом: заданный многочлен h(х) сначала умножается на одночлен хn-k, затем делится на образующий многочлен g(х). В результате получим
или
F(x) = Q(x) · g(x) = xn-kh(x) + R(X) (5.4)
Таким образом, циклический код можно построить умножением кодовой комбинации h(х), являющейся заданной, на одночлен хn-k добавлением к этому произведению остатка R(х). При декодировании, принятую кодовую комбинацию необходимо разделить на g(x). Наличие остатка указывает на ошибку.
Образующий полином g(х) является сомножителем при разложении двучлена хn+1. Сомножителями разложения двучлена являются неприводимые полиномы (таблица 5.3).
Образующий полином выбирают следующим образом. По заданной кодовой комбинации k определяют число контрольных символов из соотношения r = log (n + 1) или по эмпирической формуле
r = [log{(k + 1) + [log(k + 1)]}] (5.5)
Соотношение значений n, k, r можно определить по таблице 5.2.
Таблица 5.2 зависимостей между n, k и r
Из таблицы неприводимых полиномов (табл.5.3) выбирают самый короткий многочлен со степенью, равной числу контрольных символов; его и принимают за образующий полином.
Пример 5.6. Пусть требуется закодировать комбинацию вида 1101, что соответствует h(х) = х3 + х2 + 1. По формуле (5.5) определяем число контрольных символов r = 3. Из таблицы 5.3 возьмем многочлен g(х) = х3 + х + 1, т.е. 1011.
Решение:
Умножим h(х) на хr.
h(x)xr = (x3 + x2 + 1)x3 = x6 + x5 + x3 ® 11010000
Разделим полученное произведение на образующий полином g(х)
При делении необходимо учитывать, что вычитание производится по модулю 2. Остаток суммируем с h(х)хr. В результате получим закодированное сообщение:
F(x) = (x3 + x2 + 1) (x3 + x + 1) = (x3 + x2 + 1)x3 + 1 ® 1101001
В полученной кодовой комбинации циклического кода информационные символы h(х) = 1101, а контрольные R(х) = 001. Закодированное сообщение делится на образующий полином без остатка.
Сообщение, которое закодировано, является одной из комбинаций 4-разрядного кода, так как весь ансамбль сообщений (вся группа) содержит N=16 сообщений. Это значит, что если все сообщения передаются в закодированном виде, то каждое из них необходимо кодировать так же, как и комбинацию h(x) = 1101. Однако выполнять дополнительные 15 расчетов (а в общем случае 2n-k-1 расчет) нет необходимости. Это можно сделать проще, путем составления образующей (порождающей) матрицы.
Образующая матрица составляется на основе единичной транспонированной, к которой справа дописывается матрица дополнений:
Hn,k = || Ik, Cn,r || (5.6)
Матрица дополнений получается из остатков от деления единицы с нулями на образующий многочлен g(x). Комбинации единиц с нулями представляют собой векторы ошибок: 00...01, 00... 10, 00... 1...0 и т.д. Каждому вектору ошибок будет соответствовать свой остаток (опознаватель):
Получено 4 комбинации циклического кода, т.е. столько, сколько информационных разрядов, а так как в 4-разрядном двоичном коде всего N = 24 = 16 комбинаций, то остальные 11 ненулевых комбинаций находятся суммированием по модулю 2 всевозможных сочетаний строк образующей матрицы. Например, необходимо из исходных кодов 1101 и 1010 получить циклические помехозащищенные коды. Они получаются суммированием соответствующих строк образующей матрицы:
1. 1+3+4 = 1101001;
2. 2+4 = 1010011.
|
(5.3)
