Указания по выполнению заданий. Физико- технический факультет

 

 

Физико- технический факультет

Кафедра информационных систем и технологий

Буть С.В. Яничкин В.В.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

для студентов дневной,

вечерней и заочной форм обучения по специальностям

 

I-38.02.01 - информационно-измерительная техника,

I-36.04.01- промышленная электроника,

I-43.01.02 - электроэнергетические системы и сети,

I-53.01.04 - автоматизация и управление энергетическими системами.

Гродно 2010

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЯМИ

 

В данной работе решаются задачи по образному мышлению, т.е. при решении всех задач рассматриваются трехмерные объекты – поверхности. Все чертежи строятся по размерам в масштабе 1:1.

Следует иметь в виду, что все поверхности выполнены из непрозрачного материала, поэтому при пересечении поверхности другими геометрическими образами проходящие внутри поверхности линии должны быть сплошными тонкими, как линии построения.

При построении гранных поверхностей, таких как призма и пирамида, нужно уметь делить окружность на равные части (см. рис. 1), для построения проекции основания в виде правильного многоугольника вписанного в окружность заданного диаметра.

 

 

Рис. 1. Деление окружности на части:

а) – на 4 и 8 частей; б) – на 3 и 6 частей; в) – на 5 и 10 частей (12 – пятая часть окружности, АО – десятая часть окружности)

Задачи 1– 4

 

Определить точки встречи отрезка прямой AB с поверхностями: пирамиды, конуса, сферы и тора. Положение отрезка прямой АВ задано координатами.

 

Указания по выполнению заданий.

Для выполнения задания необходимо изучить тему: «Построение точек пересечения прямой с поверхностями».

По таблице 1 соответственно варианту определить данные для построения двух проекций поверхности.

Дано:

· О(50;45; 0) – центр окружности основания конуса, тора и окружности в которую вписано основание пирамиды;

· центр сферы задан координатами (50: 45: 45),

· d – диаметр сферы, нижнего основания тора, конуса и диаметр окружности в которую вписано основание пирамиды,

· n – количество ребер пирамиды,

· h – высота конуса и пирамиды,

· диаметр верхнего основания тора 30мм, высота – 50мм, радиус образующей – 100мм.

Таблица 1

№ вар.	d	n	h	A	B	№ вар.	d	n	h	A	B
				90; 40; 5	10; 70; 47					92; 50; 45	5; 50; 0
				90; 30; 5	10; 45; 45					90; 52; 10	8; 52; 45
				88; 65; 45	0; 44; 5					92; 38; 8	12; 65; 45
				85; 45; 45	0; 25; 5					86; 28; 5	15; 44; 42
				100; 38; 10	10; 38; 42					85; 60; 40	5; 45; 8
				90; 35; 10	20; 35; 50					80; 40; 45	0; 25; 5
				90; 55; 68	0; 55; 10					80; 36; 10	5; 36; 50
				88; 55; 10	10; 55; 60					80; 56; 30	5; 50; 4
				80; 35; 5	15; 35; 38					75; 56; 10	8; 56; 60
				92; 35; 8	12; 60; 45					90; 40; 5	10; 70; 45
				86; 24; 5	10; 50; 48					90; 68; 5	10; 35; 45
				80; 60; 40	5; 40; 5					88; 65; 45	0; 45; 5
				82; 42; 40	4; 26; 8					85; 45; 45	0; 20; 5
				98; 37; 18	8; 37; 60					90; 32; 15	10; 32; 55
				95; 50; 5	20; 50; 40					88; 65; 45	0; 44; 5

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЯМИ

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника ( рис.2)

 

Построение точек пересечения пря­мой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересе­чения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рисунке 4 приведено постро­ение проекций e', e и f', f точек пересечения прямой с проекци­ями m'n', mn с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями s', s вершины и a'b'c', abc основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плос­кость T(T_v). Горизонтальные проекции e и f искомых точек по­строены в пересечении проекции mn с горизонтальными проекциями 1–2 и 2–3 отрезков, по которым плоскость T пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции e' и f' определе-

Рис.2 ны по линиям связи.

 

 

Построение точек пересечения прямой линии с конусом (рис. 3).

 

Чертеж конуса с проекциями вершин s, s' и пря­мой с проекциями a'b', ab приведен на рисунке 3, а. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомога-тельную плоскость. Плоскость, проходящая через вер­шину конуса и заданную прямую (плоскость P на рис., б), пересекает конус по образующим. Плоскость Р пересекает плос­кость основания конуса по прямой DE, являющейся в данном случае горизонталью. Образующие, по которым плоскость P пересекает конус, определяются вершиной S и точками 1 и 2. На этих образующих и получаются точки M и N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.

На рисунке 3, а плоскость Р задана проекциями a'b', ab прямой AB и проекциями s'c', sc прямой, в данном случае горизонтальной, проведенной через вершину S, пересекаю­щей прямую AB в точке С и параллельной плоскости основа­ния конуса.

 

а б

Рис. 3

 

Плоскость P пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной SC. Построив проекции d' и d, проводим de ║ sc. Образующие, по которым плоскость P пе­ресекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальны­ми проекциями s–1 и s–2. В пересечении их с горизонтальной проекцией ab найдены горизонтальные проекции m и n точек пересечения, а по ним проекции m' и n'. На горизонтальной проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверх­ностью конуса. На фронтальной проекции образующие S–1 и S–2 видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой AB находится только между проекциями m' и n'.

Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис.4).

Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Ис­комые точки К и L получаются при пересечении этой окружно­сти прямой линией. На рисунке 4 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций S выбирают параллельной вспомогатель­ной, например горизонтально-проецирующей плоскости R (R_h). B этом случае линия пересечения вспомогательной плос­кости с поверхностью сферы проецируется на плоскость S в окружность с центром c_s, с которой проекция a_sb_s прямой ли­нии пересекается в точках k_s и l_s. По ним строят горизонтальные k и l и фронтальные k' и l' проекции искомых точек пересечения.

Зоны видимости участков пря­мой AB. На фронтальной проек­ции точки К (k') и L (l') видимы (они на передней полусфере). Сле­довательно, видимы в проекции лучей a'k' и lb' прямой. Между точками k' и l' сфера закрывает прямую. На горизонтальной про­екции видимым является луч lb прямой (точка L находится на верх­ней полусфере). Слева от проек­ции l горизонтальная

Рис.4 проекция прямой закрыта сферой.

Построение точки пересечения прямой линии с тором (рис.5).

Построение выполняют, руковод­ствуясь общим правилом. В каче­стве вспомо-гательной плоскости выбирают горизонталь­но-проецирующую плоскость R (R_h).

Рис.5

 

Построение проекции линии пере­сечения вспомогательной плоско­сти с поверх-ностью тора начинают обычно с построения проекций ха­рактерных точек 1', 1 – крайней левой и 2', 2 – крайней правой и 3', 3 – высшей точки.

Характер­ные точки линии пересечения:

· это высшие и низшие точки по отно­шению к плоскости Н ближайшие и наиболее удаленные точки по от­ношению к наблюдателю;

· точки, проекции которых отделяют види­мую часть проекции линии пере­сечения от невидимой;

· точки, лежащие в плоскости симметрии;

· точки пересечения трех поверхнос­тей – при наличии трех и более пе­ресекающих-ся поверхностей.

Для построения проекции 3' проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плос­кости R, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3'. Проекции промежуточных точек линии пересечения, например точки 4', 4, 5', 5, находят с помощью параллели, проходящей через точку с проекциями k', k. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пе­ресечения которой m' и n' с фронтальной проекцией a'b' прямой AB являются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой AB с поверхностью тора. По ним в про­екционной связи строят горизонтальные проекции m и n точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой AB проведен штриховой линией.