Производные неявной функции одной и нескольких переменных.
Производные неявной функции одной и нескольких переменных. Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области G плоскости Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение f(x,y,z)=0 задает неявно функцию. Это же уравнение может задавать неявно функцию x=g(y,z) или y=u(x,z). Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение f(x,y,z)=0:
Отсюда получим формулу для производной функции y=f(x), заданной неявно:
|
задана функция f(x,y), и пусть линия уровня этой функции, определяемая уравнением f(x;y)=0, является графиком некоторой функции f, определяемой уравнением y=f(x). В этом случае говорят, что функция f задана неявно уравнением f(x,y)=0. Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в G, f(
=0, x₀ 
G, 
’(
. Тогда в некоторой окрестности точки 
существует единственная непрерывная функция f, задаваемая уравнением y=f(x), так, что в этой окрестности f(x,y(x)).
+ 
.
=- 
. Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением F(x,y,z)=0: 
=- 
, 
=- 
.
