Описание алгоритма

Немецкий математик А. Гурвиц нашел косвенные условия оценки устойчивости линейных систем, которые позволяют составить алгоритм оценки устойчивости, не прибегая к нахождению корней.

Алгоритм Гурвица основан на построении из коэффициентов характеристического уравнения (1) специальной матрицы — матрицы Гурвица. В соответствии с критерием Гурвица корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, т. е. сама система будет устойчивой, если определитель матрицы Гурвица и определители всех ее диагональных, миноров положительны.

Матрица Гурвица имеет следующий вид:

.

... …

Правила для составлени матрицы Гурвица таковы: в первой строке выписываются коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами, во второй — с четными. Последующие пары строк матрицы получают из первых двух, смещая их элементы на 1, 2, 3,... столбца. Образующиеся свободные места слева, а также те элементы, которые находятся в строке справа от a_n-₁, a_n, заполняются нулями.

Таким образом, матрица Гурвица имеет п строк и п столбцов. По главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения начиная с а ₁и

до а_п.

Диагональные миноры (k=n— 1,..., 1) получаются из определителя матрицы Гурвица путем вычеркивания справа и снизу Последовательно по одной строке и одному столбцу, по две строки и два столбца и т. д. Условие устойчивости.системы заключается в том, чтобы при а₀>0 все диагональные миноры были положительны:

(2)

Таким образом, сами вычисления по алгоритму Гурвица состоят из следующих основных этапов:

1. Составление определителя Гурвица

2. Вычисление определителей

3. Анализ условия положительности определителей При выполнении этого условия делается вывод об устойчивости исследуемой системы, в противном случае система неустойчива.

С помощью алгоритма Гурвица нетрудно показать, что критерием устойчивости системы с характеристическим уравнением первого или второго порядка является положи­тельность коэффициентов этого уравнения.

Рассмотрим работу алгоритма Гурвица на следующем примере. Исследовать устойчивость системы с характеристическим уравнением

В соответствии с описанным алгоритмом составим определитель Гурвица

а также все миноры

Произведем необходимые вычисления

.

Так как определитель Гурвица и его диагональные миноры больше нуля, то можно сделать вывод об устойчивости рассматриваемой системы.

Как уже указывалось выше, критерий Гурвица дает необходимые и достаточные условия устойчивости линейных систем. На практике часто оказывается полезным использовать необходимое условие устойчивости — положительность всех коэффициентов характеристического уравнения при a₀>0: a_i>0,..., а_n>0 (при a₀<0 необходимое условие — отрицательность всех коэффициентов).

Сформулированное условие позволяет сравнительно просто, минуя громоздкие вычисления, сделать вывод о не­устойчивости системы.