Петренко И.И

Дисциплина «Математика /Высшая математика /Математический анализ

 

Выполнил(а) студент(ка):

Группы ЗАсд-114

Вариан 26

Клементьев М.А. (Ф.И.О.)

 

Проверил:

ст. преподаватель

Петренко И.И

 

Владимир 2015

 

1. Колинеарны ли векторы С1 и С2, построенные по векторам а и b.

а=(2,-1,6). b=(-1,3,8). с1=5а-2b. с2=2а-5b

Дано: а=(2,-1,6). b=(-1,3,8). с1=5а-2b. с2=2а-5b

Найти:колинеарны ли с1 и с2?

Решение: с1=(5*2-2*(-1),

5*(-1)-2*3,

5*6-2*8)=(12,-11,14)

с2= (2*2-5*(-1), 2*(-1)-5*3, 2*6-5*8)=(9,-17,28)

12=ƛ*9

ƛ=12/9=4/3

-11= ƛ*(-17)

ƛ=11/17

14= ƛ*28

ƛ=14/28=1/2

4/3≠11/17≠1/2, нет.

2. Найти косинус угла между векторами и

 

А(3,3,-1) В(5,1,-2) С(4,1,-3)

Дано: А(3,3,-1) В(5,1,-2) С(4,1,-3)

Найти:Сos( ^ )-?

Решение: = (5-3,1-3,-2-(-1))=(2,-2,-1)

=(4-3,1-3,-3-(-1))=(1,-2,-2)

Cos( ^ )=2*1+(-2)*(-2)+(-1)*(-2)/ 2²+(-2)²+(-1)²* 1²+(-2)²+(-2)²=2+4+2/ 9* 9=8/9

3. Вычислить площадь параллелограмма,построенного на векторах а и b.

а=5p-q, b=p+q, |p|=5, |q|=3, (p^q)=5π/6

Дано: а=5p-q, b=p+q, |p|=5, |q|=3, (p^q)=5π/6

Найти: Sпараллелогр-?

Решение: Sпараллелогр=|(5p-q)*(p*q)|=|5p*p+5p*q-q*p-q*q|=|5p*q+p*q)=6|p*q|=6*|p|*|q|*sin(p^q)=6*5*3*1/2=90/2=45(ед²)

4. Компланарны ли вектора а,в и с

а=(1,-1,4) в=(1,0,3) с=(1,-3,8)

Дано: а=(1,-1,4) в=(1,0,3) с=(1,-3,8)

Найти: компланарны ли векторы?

Решение: Если вектора компланарны, то

|1 -1 4| |1 -1 4|

|1 0 3|=0 |1 0 3|=1*0*8+1*(-1)*3+1*(-3)*4-1*0*4-1*(-1)*8-3*(-3)*1=-3-12+8+9=2≠0

|1 -3 8| 1 -3 8|

Ответ:не комплонарны.

5. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках А1,А2,А3,А4 и его высоту опущенную из вершин А4 на грань А1,А2,А3.

А1=(0,-3,1) А2(-4,1,2) А3(2,-1,5)А4(3,1,-4)

Дано:А1=(0,-3,1) А2(-4,1,2) А3(2,-1,5)А4(3,1,-4)

Найти:Vтетр-? h-?

Решение:найдём координаты векторов:А1А2=(-4-0,1+3,2-1)=(-4,4,1)

А1А3=(2,2,4)

А1А4=(3,4,5) |-4 4 1|

Объём тетраэдре:V=1/6 | 2 2 4 |=1/6((-4)*2*5+4*4*3+2*4*1-3*2*1-2*4*(-5)-4*4*(-4))=1/6(

| 3 4 -5|

-80+48+8-6+40+64)=74/6=12 =12 (ед³)

 

| |

Sоси=S_А1А2А3=А1А2*А1А3= | -4 4 1 |= (16-2)- (-16-2)+ (-8-8)=14 + 18 -16

|2 2 4 |

|А1А2*А1А3|= 14²+18²+16²=

Sоси=

Т.к. V=Sоси*h/3 из этого следует h=3V/Sоси=3*74/6*2/ =74/ ед.

6. Найдите расстояние от точки М0 плоскости, проходящей через три точки М1,М2,М3

Дано:М1(1,2,0)М2(3,0,-3)М3(5,2,6)М0(-13,-8,16)

Найти:расстояние от М0 до пл-ти М1,М2,М3

Решение: Найти ур-ние плоскости:

|x-1 y-2 z-0 |

|3-1 0-2 -3-0|=0

|5-3 2-2 6-0 |

________________

|x-1 y-2 z |

|2 -2 -3 |=(x-1)(-12)+(y-2)(-12)+2*z*0-z*(-8)-12(y-2)-0*(-3)*(x-1)=-12x+12-12Y+24+8z-12y+24=

|4 0 6 |

=-12x-24y+8z+60=0

Ур-ние плоскости.

Расстояние от М0 до пл-ти:d=|(-12)*(-13)+(-24)*(-8)+8*16+60|/ (-12)²+(-24)²+8²=536/ = =19 =19

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендекулярно вектору ВС

Дано: А(-3,-1,7)В(0,2,-6)С(2,3,-5)

Написать уравнение плоскости.

Решение ВС=(2,1,1)

Уравнение плоскости:2(х+3)+1(y-1)+1(z-7)=0

2x+6+y-1+z-7=0

2x+y+z-2=0

 

8. Найти угол между плоскостями

Дано:2y+z-9=0

x-y+2z-1=0

Найти:y-угол между пл-тями.

Решение: Нормальные вектора данных плоскостей:

n1=(0;2;1) n2=(1;-1;2)

cos y =0*1+2*(-1)+1*2/ * = =0

y=π/2

Ответ: π/2

 

9. Найти координаты точки А, равноудалённой от точек В и С

Дано: А(х,0,0)- равноудалённый от В(4,5,-2)С(2,3,4)

Найти: координаты т.А

Решение:

АВ= (4-х)²+(5-2)²+(-2-0)²= 16-8х+х²+25+4= х²-4х+29

Т.к. по условию АВ=АС, а АС= (2-х)²+3²+4²= х²-4х+29

х²-8х+45= х²-4х+29

Х²-8х+45=х²-4х+29

Х²-8х+45-х²+4х-29=0

-4х+16=0

-4х=-16

Х=4

Т,0 А(4,0,0)

 

10. Написать канонические уравнения прямой.

Дано:х-3y+z+2=0

X+3y+2z+14=0

Написать колонические ур-ия прямой:

Решение: колонические ур-ия прямой:

= =

Где (Хо,Yо,Zо) – любая точка прямой

S=(m,n,p)-её направляющий вектор.

| |

S=n₁*n₂=|1 -3 1|=-9 + +6 из этого следует =(-9;1;6)

|1 3 2 |

Найдём любую точку прямой (Х_о, Y_o, Z_o)

Пусть Z_o=0, точка

 

 

(Х_о-3Y_o+2=0 (2X_o+16=0

+

(Х_о+3Y_o+14=0 (3Y_o=-X_o-14

(X_O=- =-8

(Y_O=

Т.(-8,-2,0)принадлежит прямой.

Кононическое уравнение прямой:

 

11. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Дано:

3Х-2Y+5Z-3=0

Найти:точку пересечения прямой и плоскости.

Решение:Запишем параметрические уравнения прямой:

(Х-1=6t (x=6t+1

из этого следует (Y-3=t (y=t+3

(z+5=3t (z=3t-5

Подставим в ур-ие пл-ти:

3(6t+1)-2(t+3)+5(3t-5)-3=0

18t+3-2t-6+15t-15-3=0

32t-21=0

t=

Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости:

Х=6*

Y=

Z=

 

Ответ:()