Ошибки округления

Даже, если предположить, что исходная информация не содержит никаких ошибок, а все вычислительные процессы конечны, то все равно и в этом случае присутствует третий тип ошибок - ошибки округления.

Предположим, что вычисления производятся на машине, в которой каждое число может представляться не более, чем пятью значащими цифрами (отличать от термина “пять знаков после запятой“), например, 15735, 23.749, 0.16783, 0.000093436. Пусть необходимо сложить два числа 9.2654 и 7.1625, причем эти два числа являются точными. Точное значение этой суммы равно 16.4279, но оно содержит 6 значащих цифр и потому не помещается в разрядной сетке нашей гипотетической машины. Поэтому результат будет округлен до 16.428 и при этом возникнет ошибка округления.

Так как ЭВМ всегда работает с конечным количеством значащих цифр, то округление результатов арифметических операций производится очень часто. Для изучения округления действительных чисел необходимо рассмотреть форму представления таких чисел в памяти ЭВМ.

Для представления вещественных чисел используется так называемая форма “с плавающей точкой”, в которой число записывается через мантиссу и порядок . Например, число 5.673 в виде с плавающей точкой можно записать так:

56.73^.10^-1, или 5.673^.10¹, или 0.5673^.10², или 0.05673^.10³ и т.д.,

т.е. для одного и того же числа можно записать много форм его представления с плавающей точкой. Среди всех этих представлений есть одно, особенное, называемое нормализованным. Для нормализованного представления выполняется:

0,1 <1,

т.е. целая часть мантиссы равна нулю, а дробная часть в старшем разряде содержит любую цифру кроме нуля.

Рассмотрим процесс сложения двух чисел А=162.45 и В=1.7698 в нашей гипотетической 5-разрядной ЭВМ. В нормализованном представлении с плавающей точкой

А=0.16245^.10³, В=0,17698^.10¹.

Сначала происходит выравнивание порядков:

А = 0.1624500^.10³,

В = 0.0017698^.10³,

затем сложение мантисс:

А+В = 0.1642198^.10³.

В этой записи дробная часть мантиссы содержит не 5, а 7 значащих цифр, следовательно, последние две должны быть отброшены. Отбрасываемая часть суммы равна 0.98^.10^-2. Такое отбрасывание должно производиться, естественно, с округлением старшей части результата.

Существуют и практически реализуются несколько правил округления.

Простейший способ - отбрасывание младшей части результата

А+В = 0.16421^.10³ = 164.21.

Этот метод так и называется: отбрасывание младших разрядов.

Более общепринятый способ - симметричное округление.

Обозначим результат сложения так:

,

где - старшая часть результата; - младшая часть результата;

p - порядок результата; q - количество значащих цифр в представлении числа.

(В нашем случае F =0.16421^.10³, G =0.98^.10^3-5=0.98^.10^-2, p =3, q =5)

Тогда симметричное округление выполняется по правилу: результат с округлением равен

.

(В нашем случае g_s =0.98≥0.5, поэтому =0.16421^.10³+10^-2=0.16422^.10³=164.22.)

Иногда применяется более точное правило округления, учитывающее .

Относительная ошибка округления, выполненного способом отбрасывания, выражается формулой . Это, естественно, самая грубая ошибка из всех способов округления.

Относительная ошибка симметричного округления: , т.е. ошибка симметричного округления в среднем в два раза меньше ошибки отбрасывания.

В старших поколениях ЭВМ, характеризуемых сравнительно низким быстродействием, применялся в основном алгоритм отбрасывания. В современных ЭВМ, особенно если они оснащаются сопроцессорами вещественной арифметики, применяется симметричное округление. Округление, учитывающее случай , в ЭВМ практически не применяется, так как оно требует большего времени без существенного увеличения точности.

Следует учесть, что современные ЭВМ работают в двоичной системе счисления. Поэтому нормализованное представление чисел с плавающей точкой выглядит так:

,

Поэтому ошибка отбрасывания: ; ошибка симметричного округления:

Анализ ошибок и их распространения при выполнении «длинных» вычислений позволил сформулировать следующие рекомендации по снижению ошибок вычислений:

1. Если необходимо произвести сложение - вычитание длинной последовательности чисел, то надо работать сначала с наименьшими по модулю числами.

2. Если возможно, необходимо избегать вычитания почти равных чисел, т.к. это приводит к большим относительным ошибкам.