Свойства средней арифметической

В процессе вычисления и статистико-экономического анализа средней арифметической может оказаться полезным знание некоторых ее математических свойств (без развернутых доказательств).

Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:

А=А при А=const.

Сумма отклонений отдельных вариант от средней арифметической равна «0»

е (Х-Х) =0

и для сгруппированных данных:

е (Х-Х) *f=0.

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков (отдельных вариантов) от средней арифметической есть число наименьшее:

е (Х-Х) 2=min.

И для сгруппированных данных:

е (Х-Х) 2*f=min.

Если все варианты признака Х увеличить или уменьшить на постоянное число А, то и со средней арифметической произойдет то же самое:

е (Х±А) /n=Х±А.

И е (Х±А) *f/еf=Х±А.

Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшится в d раз:

е (Х/d) /n = X/d,

и е ((Х/d) *f) /еf = X/d.

Если все веса разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится:

е (X (f/d)) /е (f/d) = (1/d) *е (X*f) / (1/d) *еf =X.

Из этого свойства вытекают два методических следствия:

Следствие 1. Абсолютные значения весов можно заменять их процентным выражением, приняв еf=100,0.

Следствие 2. Если все веса равны между собой, то вычисления средней арифметической простой дает результат, аналогичный вычислению средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической, исчисленной способом моментов, имеет вид:

Х = m1*d+A, где

m1 - первый момент, вычисляемый по формуле:

m1=е ((x-А) /d*f) /еf, где

А - произвольная постоянная величина, чаще всего - это то значение признака, которое занимает срединное положение в данном ряду или то, которое имеет наибольшую частоту;

d - постоянная произвольная величина, выбирается после того, как найдены разности (х-А). Для вариационного ряда с равновеликими интервалами d принимается равным величине интервала. В остальных случаях d - это общий наибольший делитель разности (х-А).