Вынужденные электрические колебания

Лекция № 16

 

Чтобы вызвать вынужденные колебания нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС.

Пусть внешняя ЭДС изменяется со временем по закону

.

Присоединенный к контуру внешний источник тока совершает положительную работу и, следовательно, увеличивает энергию контура только в том случае, когда в контуре течет ток в направлении электрического поля , созданного этим источником тока. И наоборот, внешняя ЭДС производит отрицательную работу и уменьшает энергию контура, если ток течет в направлении противоположном .

Если при наличии внешней ЭДС в контуре с сопротивлением установились незатухающие колебания, то это значит, что результирующая работа внешнего источника за один период колебаний является положительной и в точности равна потерям энергии в контуре за этот промежуток времени (причем подкачка энергии извне производится так же непрерывно, как она расходуется на различные потери).

Найдем амплитуду, частоту и фазу силы тока при вынужденных колебаниях.

Запишем для нашего контура уравнение ІІ закона Кирхгофа. Это уравнение будет отличаться от аналогичного уравнения, полученного нами при рассмотрении свободных затухающих колебаний, наличием в правой части внешней ЭДС

.

Разделив его на , с учетом того, что и , получим

.

Применим введенные ранее обозначения и . Тогда

.

По своей форме это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний.

Для нахождения общего решения этого неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и прибавить к нему частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение аналогичного однородного уравнения было получено нами ранее при рассмотрении свободных затухающих колебаний. Это решение имеет вид:

.

Это слагаемое играет существенную роль только в начальной стадии процесса. Потом эти колебания затухают (т.к. в выражении содержится экспоненциальный множитель) и по прошествии достаточного времени становятся очень малыми. Поэтому этими колебаниями пренебрегаем и считаем, что общее решение рассматриваемого неоднородного дифференциального уравнения равно его частному решению.

Частное решение этого уравнения имеет вид

.

Этот вывод и все преобразования аналогичны преобразованиям произведенным нами ранее при рассмотрении уравнения вынужденных механических колебаний.

Входящие в это выражение и соответственно равны

;

.

Подставив в эти выражения вместо и вместо , получим

; (1)

.

Таким образом, уравнение вынужденных электрических колебаний заряда в контуре имеет вид

.

Разделив это выражение на емкость конденсатора, получим уравнение вынужденных электрических колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

.

Обозначим , тогда

.

Подставив в уравнение вместо выражение (1), получим

.

Для того, чтобы найти закон изменения со временем силы тока в таком контуре, необходимо продифференцировать по выражение для заряда переносимого в контуре, т.е.

.

Обозначим . Тогда, с учетом того, что , получим

.

Подставив в формулу вместо выражение (1), получим

.

Как и в случае механических колебаний существует электрический резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока резко возрастает, когда , и достигает максимального значения при , независимо от величины .

Резонансные кривые для силы тока изображены ниже.

Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях.

Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси , равен нулю: при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна согласно определению

.

Подставив вместо и , получим

.

Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний.

 

При резонансные кривые стремятся к напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику с ЭДС .

Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше величина , т.е. чем меньше активное сопротивление и чем больше индуктивность контура.

В колебательном контуре можно получить незатухающие колебания только тогда, когда удается осуществить непрерывную компенсацию потерь энергии в контуре. Для этого необходимо, чтобы внешний источник тока совершал положительную работу.

Если частота внешней ЭДС сильно отличается от частоты собственных колебаний контура, то у внешнего источника между ЭДС и силой тока существует разность фаз, вследствие чего за одну часть периода совершается положительная, а за другую – отрицательная работа.

При резонансе ток, текущий через внешний источник, находится в фазе с ЭДС и в течение всего периода совершается только положительная работа.

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.

Явление резонанса используется в технике для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

.

Настроив контур на одну из частот , т.е. подобрав соответствующим образом параметры и , можно получить на конденсаторе напряжение, превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.

Переменный ток

Квазистационарные токи

 

Законы Ома и Кирхгофа, установленные для постоянного тока, остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока и напряжения, если эти изменения происходят не очень быстро.

Скорость распространения электромагнитных возмущений в электрической цепи равна скорости света.

Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех участках цепи будут практически одинаковы. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными.

Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется как

,

где - длина цепи;

- скорость распространения электромагнитных волн;

- период изменений.

Ток промышленной частоты квазистационарен для цепей длиной до 100 км. Пусть к зажимам сопротивления приложено напряжение, изменяющееся по закону

,

где - амплитудное значение напряжения.

Тогда, согласно условию квазистационарности, по закону Ома

.

Таким образом, между амплитудными значениями силы тока и напряжения имеется соотношение:

.

 

Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное напряжение на концы индуктивности с пренебрежимо малыми значениями сопротивления и емкости. В индуктивности потечет переменный ток, который приведет к возникновению ЭДС самоиндукции.

.

Уравнение закона Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде

Откуда

.

Это уравнение можно записать несколько иначе:

.

Проинтегрировав, это выражение получим

.

Так как , то .

Обозначим через , тогда

.

Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения тока и напряжения , получим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Эта величина носит название реактивного индуктивного сопротивления или просто индуктивного сопротивления. Обозначается оно через :

.

В нашем случае все приложенное напряжение приложено к индуктивности, следовательно

.

Заменив через , получим

.

Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в индуктивности, мы видим, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность на .

Если направить ось токов горизонтально, то векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

 

Переменный ток, текущий через емкость

Подадим переменное напряжение на емкость. Сопротивлением подводящих проводов и индуктивностью цепи пренебрежем. Тогда напряжение на конденсаторе будет равно внешнему напряжению, т.е.

;

, .

.

Умножим обе части равенства на , тогда

.

Продифференцировав по , найдем, с учетом того, что ,

.

Обозначим через , тогда

.

Так как , то

. (2)

Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения токов и напряжений , мы видим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Она называется реактивным сопротивлением. Обозначается оно через .

Для постоянного тока , следовательно . Это значит, что постоянный ток через конденсатор течь не может.

Так как в рассматриваемом случае все приложенное напряжение приложено к емкости, то

.

Заменив через , получим

.

Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в конденсаторе (2), мы видим, что падение напряжения на емкости отстает по фазе от тока на .

Векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

 

 

 

Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление.

Подадим на концы цепи, составленной из последовательно соединенной емкости, индуктивности и сопро-тивления, переменное напряжение частоты .

В цепи возникнет переменный ток той же частоты, амплитуда и фаза которого определяется величиной , и .

Построим векторную диаграмму этой цепи.

Падение напряжения на сопротивлении будет равно , а фаза напряжения совпадает с фазой тока.

Падение напряжения на индуктивности, амплитудное значение которого равно , опережает ток, как мы уже знаем, на . Поэтому вектор повернут относительно оси токов против часовой стрелки на угол .

Падение напряжения на емкости с амплитудой отстает от тока по фазе, как мы уже знаем, на . Следовательно, вектор должен быть повернут относительно оси токов на угол по часовой стрелке.

Сложив вектора , и , получим вектор приложенного внешнего напряжения, с амплитудой . Этот вектор образует с осью токов угол , величина которого равна

.

Как следует из диаграммы,

.

Откуда

.

Величина называется полным сопротивлением цепи.

 

Величина называется реактивным сопротивлением.

Таким образом,

.

В зависимости от соотношения и ток в цепи или отстает от внешнего напряжения или опережает его. Если , т.е , изменения тока происходят синфазно . Этому условию удовлетворяет частота .

При этом и . и противоположно направлены.

Это явление носит название резонанса напряжений, а соответствующая частота называется резонансной частотой.

Векторная диаграмма для этого случая изображена ниже.

Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление оказывается чисто активным и имеет наименьшую при данных параметрах цепи величину.

 

Резонанс токов

Рассмотрим цепь, образованную параллельно включенной емкостью и индуктивностью. Подадим на нее переменное напряжение, изменяющееся по закону

.

Тогда .

Силы токов в параллельных ветвях равны

, где ;

, где .

Как следует из этих выражений, токи и находятся в противофазе ( отстает от на , а опережает на ).

Ток в неразветвленной части цепи

.

Т.к.

, то

.

При ток в неразветвленной части цепи будет равен нулю, хотя токи и в отдельных ветвях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Из условия для резонансной частоты получается такое же значение, что и при резонансе напряжений:

.

Отсюда определение: явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, при приближении частоты вынуждающей ЭДС к резонансной частоте контура называется резонансом токов.

Соотношения между токами и при резонансе можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы.

При построении диаграмм токов вектора токов нужно откладывать относительно оси напряжений. Как мы уже отмечали, отстает от на , а опережает на . При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы и результирующий ток равен нулю.

Рассмотрим явление резонанса токов для цепи содержащей , и , включенных по следующей схеме.

Силы токов в параллельных ветвях равны

;

;

где

; ;

; .

Сила тока в неразветвленной части цепи равна

,

где

;

.

Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается активным и имеет наибольшую возможную при данных параметрах цепи величину. При этом токи и значительно превышают ток , текущий через источник и вся мощность выделяется на активном сопротивлении цепи .

 

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Как мы уже знаем, мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока

,

где

,

,

где - разность фаз между током и напряжением.

Тогда .

Из тригонометрии нам известно, что

.

Тогда .

График зависимости представлен ниже.

Среднее значение, относительно которого колеблется мгновенная мощность,

. (3)

Ранее при рассмотрении цепи переменного тока, содержащей , и , мы получим формулу

.

Из тригонометрии нам известно, что

.

Тогда

. (4)

Величина, стоящая в знаменателе, как мы знаем, называется полным сопротивлением цепи. Обозначается буквой . Тогда

.

Подставив это значение косинуса в формулу для , получим

.

Т.к. , то

.

Сравнив эту формулу с формулой мощности, выделяемой в цепи постоянного тока, , мы видим, что

.

Эта величина называется эффективным значением силы тока.

По аналогии величина носит название эффективного (или действующего) напряжения.

Эти понятия введены потому, что мгновенное значение силы переменного тока непрерывно изменяется, а ее среднее значение равно нулю. Поэтому для измерения переменных токов решили использовать их тепловые действия.

Дейтвующей или эффективной силой переменного тока называется сила такого постоянного тока, который в том же проводнике и за то же время выделит такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.

С использованием действующих значений формула для средней мощности переменного тока формула (3) примет вид:

.

Входящее в эту формулу значение носит название коэффициента мощности.

Если реактивное сопротивление цепи равно нулю, т.е. , то, согласно формуле (4), и, следовательно, .

При чисто реактивном сопротивлении цепи, т. е. при и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю.

В технике стремятся сделать как можно больше. При малом для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большой силы. При этом возникают потери в проводящих проводах и приходится увеличивать их сечение.