СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский технологический институт

Московского государственного университета дизайна и технологии

(филиал)

 

АНАЛИЗ РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА

 

Методические указания к выполнению контрольных работ

И расчетно-графических работ по дисциплине

«Теория механизмов и машин»

Для всех специальностей

 

Новосибирск 2007

Разработчик доц., к.т.н. Ермолаев В.Ф.

Рецензент проф., д.т.н. Подгорный Ю.И.

Работа выполнена на кафедре механики НТИ МГУДТ (филиал)

 

 

 

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Рассмотрим в качестве примера плоский рычажный шестизвенный механизм (рисунок 1), параметры которого приведены в таблице 1.

 

 

Таблица 1 - Параметры плоского шестизвенного механизма

,	Направление вращения звена 1	Положение	Размеры звеньев, м
АВ	ВC	СD	DE	EF	a	b
	+	120o	0,06	0,140	0,120	0,080	0,160	0,080	0,04

 

 

Число степеней свободы плоских механизмов рассчитывают по формуле [1]:

, (1)

где - число подвижных звеньев, - число кинематических пар пятого класса, - число кинематических пар четвертого класса.

Для данного механизма:

 

Кинематические пары механизма приведены на рисунке 2.

 

Вращательные и поступательные кинематические пары относятся к парам 5 класса (рисунок 2).

Любой плоский рычажный механизм, то есть механизм с низшими парами или парами 5 класса, состоит из механизма первого класса (входного звена с одной степенью свободы) и структурных групп звеньев с нулевой степенью подвижности (групп Ассура). Группа Ассура подчиняется формуле

или

 

Из последнего уравнения следует, что число подвижных звеньев может быть только четным, а число пар 5 класса кратно трем. Простейшая группа Ассура состоит из двух звеньев и трех кинематических пар. По классификации И.И. Артоболевского такие группы Ассура относятся ко второму классу или двухповодковым группам [1].

Для установления класса механизма следует разложить его на механизм первого класса и группы Ассура (рисунок 3). Рассматриваемый механизм относится ко второму классу, так как содержит только группы Ассура второго класса.

 

2 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Кинематический анализ – определение движения звеньев механизма по заданному движению начальных звеньев.

Графические и графоаналитические методы анализа наиболее наглядны и просты в исполнении, но неточны. Рассмотрим метод планов скоростей и ускорений, который относится к графоаналитическим методам.

Планом скоростей (ускорений) механизма называется чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям (ускорениям) различных точек механизма в данный момент.

Сформулируем свойства планов скоростей и ускорений:

1) векторы абсолютных скоростей (ускорений) направлены из полюса;

2) векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей (ускорений), есть векторы относительных скоростей (ускорений);

3) точки, у которых скорости (ускорения) равны нулю, расположены в

полюсе;

4) векторы относительных скоростей (полных относительных ускорений) образуют на плане скоростей (ускорений) фигуру, подобную жесткому контуру на плане механизма;

5) планы скоростей и ускорений позволяют определять величину и направление угловых скоростей и ускорений.

Для механизма, положение которого определяется углом (рисунок 1), на рисунке 4 приведен план скоростей, а на рисунке 5 – план ускорений.

 

 

 

Входное (ведущее) звено АВ совершает вращательное движение c постоянной угловой скоростью , модуль скорости точки В определяется по формуле:

. (2)

На поле чертежа произвольно выбирается точка - полюс плана скоростей (рисунок 4). Из точки откладывается произвольной длины отрезок в мм (в соответствии с рисунком 4 ) перпендикулярный АВ и направленный в сторону вращения АВ. Точка А звена АВ неподвижна и будет находиться в полюсе плана. Масштаб плана скорости определяется как

.

В плоскопараллельном движении скорость точки С определяется из системы уравнений:

(3)

Относительные скорости и направлены перпендикулярно звеньям ВС и CD. Точка D звена CD неподвижна и будет находиться в полюсе плана скоростей. Через точку плана скоростей проводим прямую перпендикулярно звену ВС, а через полюс проводим прямую перпендикулярно звену CD. Точка пересечения этих прямых будет являться вектором абсолютной скорости точки С, а отрезок в масштабе будет являться вектором скорости . Отрезок будет являться вектором относительной скорости .Модули скоростей и определятся как

Скорость точки Е определяется на основании свойств подобия (векторы относительных скоростей образуют на плане скоростей фигуру, подобную жесткому контуру на плане механизма), для чего отрезок на плане скоростей разбивается пропорционально отрезкам СЕ и ЕD на плане механизма:

, откуда . Модуль скорости точки Е определится как

Скорость точки F определяется из следующего уравнения:

. (4)

Скорость при поступательном движении параллельна направляющим ползуна, а относительная скорость направлена перпендикулярно звену EF. Скорость точки F определяется в соответствии с уравнением (4): из точки проводится прямая перпендикулярно звену EF, а из полюса прямая параллельно направляющим ползуна. Точка пересечения этих двух прямых и будет концом вектора скорости точки F, а отрезок в масштабе будет вектором . Отрезок будет являться вектором относительной скорости . Модули скоростей и определятся как

Скорости центров масс звеньев определяются на основании свойств подобия (свойство планов скоростей и ускорений пункт 4). Например, скорость центра масс звена 2 будет являться вектором ,проведенным из полюса к середине отрезка :

Аналогично определяются скорости центров масс других звеньев.

Построение плана ускорений (рисунок 5) производится в следующей последовательности. Ускорение точки В определится из следующего уравнения:

(5)

Нормальное ускорение точки В направлено по звену АВ к центру вращения А, а его модуль определится по формуле:

(6)

 

 

Ведущее звено АВ вращается с постоянной угловой скоростью , тогда его угловое ускорение равно нулю. Тангенциальное ускорение точки В определяется по формуле , и также равно нулю. На поле чертежа произвольно выбирается точка - полюс плана ускорений. Из точки откладывается произвольной длины отрезок в мм (в соответствии с рисунком 5 ) параллельно АВ и направленный от точки В к точке А. Точка А звена АВ неподвижна и будет находиться в полюсе плана. Тогда в соответствии с уравнением (6) полное ускорение точки В равно его нормальному ускорению: = . Масштаб плана ускорения определяется как

 

В плоскопараллельном движении ускорение точки С определяется из системы уравнений:

(7)

Нормальные ускорения точки С и направлены из точки С параллельно звеньям ВС и СD, а тангенциальные ускорения и - перпендикулярно звеньям ВС и СD. Модули нормальных ускорений точки С определяются по формулам:

Ускорение точки D равно нулю. Последовательность графических построений по уравнениям (7) приведена на плане ускорений (рисунок 5). Вначале из точек и плана ускорений откладываются отрезки и , из концов которых проводятся линии действия тангенциальных ускорений и . Точка пересечения этих линий и будет концом вектора абсолютного ускорения . Линия - план ускорений звена 2, а линия - план ускорений звена 3.

Ускорение точки Е определяется также на основании свойств подобия отрезков на плане ускорений и жестких контуров на кинематической схеме механизма: , откуда отрезок . Модуль ускорения точки Е определится как

Ускорение точки F определяется из следующего уравнения:

. (8)

Ускорение при поступательном движении параллельно направляющим ползуна. Нормальное ускорение направлено из точки F параллельно звену EF. Модуль вектора определяется по формуле

.

Последовательность построений по уравнению (8) на плане ускорений: из полюса проводится линия параллельно направляющим ползуна, а из точки проводится линия параллельно звену 4, вдоль которой (от точки F к точке Е) откладывается отрезок . Так как отрезок , изображающий вектор , мал по сравнению с другими, то им можно пренебречь, и линия действия проводится из точки .Точка пересечения этих линий будет концом вектора абсолютного ускорения .

Ускорение центров масс звеньев 2, 3 и 4 определяются также как и их скорости из свойств подобия.

По планам скоростей и ускорений определяются также угловые скорости и угловые ускорения звеньев:

.

Для определения направления угловой скорости, например, звена 2, вектор (вектор относительной скорости точки С при вращении звена 2 вокруг точки В) переносится мысленно с плана скоростей в точку С звена 2 на плане механизма ( направлено против часовой стрелки или его направление положительное). Аналогично определяется направление по вектору относительного тангенциального ускорения ( направлено также против часовой стрелки или имеет положительное направление).

3 СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Задачей силового анализа механизма является определение реакций в кинематических парах механизма и уравновешивающих сил или моментов при известных внешних силах и заданном законе движения ведущих звеньев.

При решении задачи силового анализа механизмов используется принцип Даламбера, согласно которому звено механизма может рассматриваться как находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам, действующим на него, добавить силы инерции. Уравнения равновесия в этом случае называют уравнениями кинетостатики.

 

3.1 Определение сил, действующих на звенья механизма

3.1.1 Определение сил тяжести звеньев

Силы тяжести звеньев рычажного типа определяются по формуле

, (9)

где - масса звена; - ускорение свободного падения.

Масса звеньев рычажного типа задается зависимостью:

, (10)

где - масса звена, кг; - длина звена, мм; - коэффициент, величина которого задается преподавателем в пределах от 0,001 до 0,003 кг/мм.

Масса ползуна задается как

,

где j – любое целое число, задаваемое преподавателем.

Силы полезного сопротивления прикладываются к ползунам, направляются в сторону противоположную их движению, численное значение задается в двадцать раз больше силы тяжести звена АВ.

Для рассматриваемого механизма принимаем и 3, тогда

(Н);

(Н).

Аналогично определяются силы тяжести других звеньев. Результаты расчета сил тяжести приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Результаты расчета сил тяжести

 

1,8	4,2	3,6	4,8	5,4

 

3.1.2 Определение сил и моментов сил инерции звенье в

Векторы сил инерции звеньев и их численные значения находятся по формуле

, (11)

где - сила инерции -го звена, ; - масса -го звена, ; - ускорение центра масс -го звена, м/с².

Векторы моментов сил инерции и их численные значения находятся по формуле

;, (12)

где - момент сил инерции -го звена, ; - момент инерции -го звена относительно оси проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения звена, ; - угловое ускорение -го звена, .

Центры масс стержней находятся посередине их длины, тогда моменты инерций рассчитываются по формуле

. (13)

Ускорения центров масс звеньев и угловые ускорения звеньев механизма определяются из плана ускорений (рисунок 5). Результаты расчетов сведены в таблицу 3.

Таблица 3 - Результаты расчета ускорений звеньев механизма

Ускорение центров масс, м/с2	Угловые ускорения звеньев, с-2
	19,6	7,4	6,8	6,0		54,3	68,3

 

Определим силы и моменты сил инерции звеньев для рассматриваемого механизма:

1-е звено:

2-е звено:

Силы инерции и моменты сил инерции для остальных звеньев механизма определяются аналогично. Результаты расчетов сведены в таблицу 4.

 

Таблица 4 - Результаты расчета сил инерции и моментов сил инерции

Силы инерций, Н	Моменты сил инерций,
2,2	8,39	2,71	3,33	3,3		0,038	0,03	0,063

 

3.2 Определение реакций в кинематических парах механизма

Силовой расчет плоских механизмов ведется по группам Ассура, причем начинать расчет следует с группы Ассура, которая наиболее удалена от ведущего звена.

Силовой анализ выполняется как графическими методами, так и аналитическими методами [1]. Графическое определение реакций в кинематических парах плоских механизмов путем построения планов сил применяется не только вследствие наглядности, но и потому, что внешние силы, действующие на звенья механизма, обычно известны лишь приближенно и точность простейших графических построений часто оказывается вполне достаточной.

 

3.2.1 Расчет первой группы Ассура

Для рассматриваемого механизма наиболее удаленной, т.е. первой группой Ассура, является группа, состоящая из звеньев 4-5 – это группа второго класса с внешней поступательной парой.

Для определения графическим методом реакций в кинематических парах этой группы строится расчетная схема (рисунок 7). Линейные размеры группы изображаются в масштабе, например, , и к звеньям прикладываются все известные силы и моменты.

 

 

 

 

Ползун (звено5) соприкасается в механизме со стойкой (звено 0). В группе же стойку отбросили, поэтому действие звена 0 на звено 5 надо заменить неизвестной по величине реакций , которая направлена по нормали к направляющей (силы трения не учитываем).

В кинематической паре Е звено 4 соприкасается со звеном 3. Звено 3 отбрасываем и действие звена 3 на звено 4 заменим неизвестной реакцией , направление которой проводится произвольно. Реакцию раскладываем на две взаимно перпендикулярные составляющие: нормальную - , которая направлена вдоль звена EF, и тангенциальную - , которая направлена перпендикулярно звену.

Для определения силы составляется уравнение равновесия моментов всех сил, действующих на звено 4, относительно точки F:

(15)

где - плечи соответствующих сил на расчетной схеме (рисунок 7). Из уравнения (15) находим

Знак минус означает, что в действительности тангенциальная составляющая направлена в противоположную сторону.

Величины реакций и находят с помощью построения плана сил (рисунок 8). Для этого графически складывают векторы всех сил, действующих на данную группу Ассура. Предварительно выбирают масштаб построения плана сил , например , либо откладывается отрезок любой длины в направлении любой известной силы и определяется масштаб . Например, откладываем отрезок длиной 120 мм в направлении силы , тогда .

Условие равновесия группы в векторной форме имеет вид

. (16)

Построение плана сил можно начинать с любой известной силы, если масштаб построения выбран заранее. Построение плана сил начнем с построения вектора силы . Затем складываем все известные векторы сил и реакций в следующей последовательности: к началу вектора прикладываем вектор силы , к началу вектора прикладываем вектор силы , и так далее. Вектора сил складываем таким образом, чтобы начало одного вектора совпадало с концом другого вектора. Из конца вектора проводим линию, параллельную линии действия вектора , а из начала вектора проводим линию, параллельную линии действия вектора . В точке пересечения линий действия и силовой многоугольник замкнется.

 

 

На плане сил через векторы и находим вектор реакции . Из плана сил (рисунок 8) определяются численные значения векторов и :

, .

 

 

3.2.2 Расчет второй группы Ассура

Вторая группа Ассура состоит из звеньев 2-3 – это группа также второго класса с тремя вращательными кинематическими парами. Построим расчетную схему для группы в том же масштабе (рисунок 9).

Действие четвертого звена на третье в точке Е определено при расчете первой группы .В кинематических парах D и В со звеньями второй группы соприкасались звенья, соответственно 0 и 1, действия которых заменены реакциями и , направление которых выбрано произвольно. Реакции и раскладываем на две взаимно перпендикулярные составляющие: .

 

 

Для нахождения тангенциальных составляющих составляются уравнения равновесия моментов всех сил действующих, соответственно, на звенья 2 и 3, относительно точки С (рисунок 9).

(17)

, (18)

Нормальные составляющие и находятся из плана сил. Условие равновесия второй группы в векторной форме имеет вид

. (19)

Построение плана сил (рисунок 10) можно начинать с любого известного вектора силы, предварительно выбрав масштаб (например ), либо откладывается отрезок любой длины в направлении любой известной силы и определяется масштаб также как и в предыдущей группе. Построение плана сил начнем с вектора силы , которая направлена противоположно (отрезки, определяющие величины сил и , при том же масштабе равны). К нему в произвольной последовательности прибавляют векторы всех известных сил и реакций. Например, к началу вектора прикладываем последовательно вектора силы , , , а к концу вектора прикладываем последовательно вектора , . Из конца вектора , перпендикулярно к нему, проводим линию действия , а из начала вектора , перпендикулярно к нему - линию действия . В точке пересечения линий действия и силовой многоугольник замкнется.

Складывая векторы и , и (рисунок 10), находим соответственно реакции и .

Из плана сил определяем численные значения векторов и :

 

 

;

.

3.2.4 Определение сил, действующих на входное звено

Расчетная схема входного (ведущего) звена в масштабе с коэффициентом приведена на рисунке 11 а. Если входное звено выполнено как одно целое с ротором электродвигателя, двигателя внутреннего сгорания или любого другого источника движения, то система уравновешивается моментом . Тогда для входного звена можно составить одно векторное уравнение суммы сил и одно скалярное уравнение суммы моментов сил относительно точки А:

(20)

. (21)

Из уравнения (20) построением плана сил (рисунок 10б) находим реакцию . Из уравнения (21) определяется уравновешивающий момент (момент сил, действующий на вращающееся начальное (входное) звено, определяемый из условия заданного закона движения этого звена, называется уравновешивающим моментом).

 

 

Из плана сил (рисунок 10 б)определяем модуль реакция :

.

Уравновешивающий момент:

Результаты определения реакций в кинематических парах механизма и уравновешивающего момента сведены в таблицу 5.

Таблица 5 – Значения реакций в кинематических парах механизма

Силы реакций в кинематических парах, Н
32,4	0,75	19,8	16,2	16,8	1,07

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНОВЕШИВАЮЩЕГО МОМЕНТА

МЕТОДОМ «РЫЧАГА ЖУКОВСКОГО»

Теорема Жуковского. Если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана будет пропорционален ее мощности.

На рисунке 11 приведен «рычаг Жуковского», который представляет собой повернутый на 90 градусов план скоростей (отрезок направлен вдоль звена АВ, при этом полюс плана совпадает с точкой А механизма) и силы, приложенные в точках, одноименных с точками приложения этих сил в механизме.

На основании общего уравнения динамики сумма мощностей всех внешних сил, приложенных к звеньям механизма, и мощностей сил инерции звеньев равна нулю:

(20)

По условию теоремы Жуковского, это уравнение равносильно уравнению моментов относительно полюса повернутого плана скоростей

(21)

 

 

 

	Рисунок 11 – Рычаг Жуковского.

Так как по условию теоремы Жуковского переносятся только силы, то вместо моментов надо перенести пары сил: , , . Величины этих составляющих определятся из условий:

.

Уравнение (21) будет иметь следующий вид:

(22)

Из уравнения (22) определяется неизвестная сила :

Уравновешивающий момент:

Относительная п