Задания. Задание 1. Исследование собственных колебаний в линейной диссипативной системе

Задание 1. Исследование собственных колебаний в линейной диссипативной системе

а) Получить и проанализировать все возможные виды движений в системе, задав соответствующим образом параметры системы и начальные условия.

б) Для затухающего колебательного процесса оценить влияние потерь энергии на собственную частоту (период колебаний). рассмотреть случаи медленного, быстрого затухания. На сколько будет отличаться частота рассматриваемых колебаний от собственной частоты системы без потерь энергии?

в) Для достаточно большой диссипации энергии в системе () исследовать все виды асимптотических (апериодических) движений. Проанализировать влияние величины и знака начальных условий на характер протекания процесса.

г) Исследуется линейная диссипативная система – полный колебательный контур RCL. Получить для затухающих колебаний зависимость полной энергии в системе от времени. Рассмотреть варианты малого затухания (), большого затухания ().

Задание 2. Решить уравнение, описывающее движение математического маятника, на который действует только сила тяжести, при произвольном угле отклонения. Получить все виды движений и полный фазовый портрет.

Задание 3. Исследование нелинейного консервативного колебательного контура.

1. В консервативном колебательном контуре в качестве емкости используется вариконд, емкость которого определяется выражением .

Получить решение колебательного уравнения q(t). Исследовать влияние на изменение характера колебательного процесса:

1) степени нелинейности γ=0.1; 1; 10. 2) начальных условий и параметров системы.

Получить фазовые портреты всех решений. Сравнить с линейным случаем. Сделать вывод об отличии нелинейного контура от линейного. Получить уравнение фазовых траекторий данного контура аналитически.

2. Оставив параметры контура неизменными, изменяя лишь амплитуду колебаний (7 вариантов), установить, как изменяется период колебаний (частота колебаний). Получить частоту неизохронных колебаний методом гармонического баланса. Сравнить с результатами численного моделирования.

Задание 4. Колебательная система с нелинейным трением.

Изучается система, колебания в которой описываются уравнением

.

Решить уравнение для случаев: а) вязкого трения; б) сухого (кулоновского) трения; в) квадратичного трения.

Получить фазовые портреты.

Проанализировать: а) характер движения в рассматриваемых случаях и установить отличие от линейного варианта; б) в каком случае логарифмический декремент затухания является переменной величиной и в зависимости от чего меняется эта характеристика.

Задание 5. Электрический контур с нелинейным затуханием.

Исследуются колебания в контуре с постоянными L и C, но с сопротивлением . Составить колебательное уравнение, описывающее изменение заряда. Получить решение и соответствующие фазовые портреты для . Установить и пояснить отличие от линейного случая.

Задание 6. Исследуется нелинейная консервативная система вида .

1. Получить решение этого уравнения и фазовые портреты для возвращающей силы вида для случаев γ>0, γ<0 (γ=0.1; γ=1; γ=10). Определить, в чем отличие от линейного случая. Получить фазовые портреты.

2. Не изменяя параметры системы, для разных начальных условий (10 вариантов) проанализировать изменение периода колебаний (частоты свободных колебаний) от амплитуды (для γ>0, γ<0).

Задание 7. Получить решение уравнения математического маятника с произвольным углом отклонения, находящегося в вязкой среде, для всех возможных видов движения в такой системе. Построить полный фазовый портрет.

Задание 8. Решить уравнение, описывающее автоколебательную систему

1. Получить все возможные формы автоколебаний.

2. Установить, чем определяется амплитуда установившихся автоколебаний.

Задание 9. Исследовать нелинейный осциллятор с вязким трением под действием периодической силы

Задание 10. Исследуется автоколебательная система с жестким режимом возбуждения

При изменении параметра М возможна буферизация типа: рождение пары предельных циклов из сгущения фазовых траекторий. Получить данную бифуркации.

Задание 11. В неавтономном осцилляторе Ван-дер-Поля с нелинейной возвращающей силой, уравнение которого имеет вид

возможно возникновение хаоса. Определить параметры и получить периодические, квазипериодические и хаотические колебания. На фазовом портрете пронаблюдать появление странного аттрактора.

2. КРАТКОЕ ЗНАКОМСТВО

 

Установка пакета на компьютер с дистрибутивных дискет или компакт-диска осуществляется стандартной для WINDOWS процедурой инсталляции. В результате на жестком диске создается каталог MODELLUS. В этом каталоге содержится подкаталог PROGRAM с запускающим программу файлом modellus.exe. Ярлык программы целесообразно поместить на рабочем столе WINDOWS, что обеспечит быстрый доступ к программе.

 

Рабочий экран программы MODELLUS

 

После запуска программы перед пользователем открывается главное окно приложения. В верхней части окна, как обычно, располагается главное меню, содержащее в основном стандартные пункты:

 

1. File - работа с файлами. Подпункты этого пункта меню также стандартны:

a. New - создание нового файла модели. Рабочие файлы системы MODEL LUS имеют расширение.mdl.

b. Open - открытие существующего рабочего файла.

c. Save - сохранение рабочего файла на жестком диске после внесения в него изменений.

d. Save as - сохранение рабочего файла под новым именем и/или на новом месте.

e. Password - создание пароля для работы с файлом.

f. Exit - выход из программы MODELLUS.

2. Edit - правка (редактирование) в рабочих окнах системы:

a. Undo - отмена последнего действия.

b. Cut - удаление выделенного фрагмента. (Выделение фрагмента производится обычными для WINDOWS способами, главным образом с помощью манипулятора мышь.)

c. Copy - копирование выделенного фрагмента в буфер временного хранения Clipboard.

d. Paste - вставка содержимого Clipboard в текущую позицию курсора ввода.

e. Copy Window - этот специфичный для MODELLUS подпункт позволяет копировать в буфер обмена целиком рабочее окно.

 

3. Case - варианты. Этот необычный для главного меню WINDOWS - приложения пункт позволяет системе обрабатывать одновременно несколько вариантов модели, отличающихся наборами входных параметров. Имеется два подпункта:

a. Add - добавить еще один вариант.

b. Remove Last - удалить вариант, добавленный последним.

 

Перед рассмотрением следующего пункта главного меню необходимо сделать остановку и поговорить о рабочих окнах программы MODELLUS. Рабочие окна открываются на фоне главного окна приложения и могут быть одного из четырех типов. Окно модели может существовать в единственном экземпляре и является, по сути дела, обычным окном простого текстового редактора. Здесь пользователь записывает, придерживаясь небольшого числа правил, формулы и уравнения, задающие математическое описание модели. Окон графиков может быть одновременно до трех. В этих окнах отображаются графики функциональных зависимостей одних переменных от других, построенные по результатам моделирования. Окна анимации (в количестве от 0 до 3) отображают результаты моделирования в виде видеоклипов, которые иллюстрируют, как правило, временную эволюцию моделируемого процесса с использованием различных рисованных объектов. Наконец, окна таблиц, также в количестве от 0 до 3, могут содержать результаты моделирования в оцифрованном виде. Таблицы, анимацию и графики можно использовать в других WINDOWS - приложениях. Следующее окно - окно параметров модели. В этом окне пользователь задает числовые значения параметров (констант), входящих в описание модели. Для моделей, базирующихся на системах дифференциальных уравнений, здесь же задаются начальные условия. Кроме того, в главном окне располагается окно управления, содержащее органы запуска и остановки модели, «перемотки» моделируемого процесса вперед и назад и ряд других средств управления моделью.

Вот теперь можно продвигаться дальше по пунктам главного меню, следующим из которых будет:

 

4. Window - рабочее окно. Имеются следующие подпункта:

a. New Graph - создает очередное окно графика.

b. New Animation - создает очередное анимационное окно.

c. New Table - создает очередное окно таблицы.

d. Standard - создает некий стандартный набор рабочих окон, расположенных стандартным образом.

e. Cascade - располагает все окна «каскадом», частично наложенными друг на друга.

f. Tile - автоматически располагает окна с минимальным взаимным перекрытием.

g. 1. Control - делает активным в текущий момент окно управления.

h. 2. Initial Condition - делает активным окно параметров.

i. 3. Model - делает активным окно модели, то есть текстовый редактор.

 

5. Help - как обычно, пункт меню для получения помощи и справочной информации. Здесь содержатся подпункты:

a. Workshops - краткое руководство по реализации двух примеров разработки моделей. Эти примеры представлены и здесь, в конце данного раздела.

b. About Modellus - фирменная «карточка» пакета.

 

Необходимо отметить, что только в коммерческой версии все пункты и подпункты главного меню могут быть задействованы в полном объеме. В демонстрационной версии, которую можно получить бесплатно, невозможно, в частности, сохранять на жестком диске вновь созданные рабочие файлы и изменения в файлах примеров, поставляемых вместе с демонстрационным пакетом.