Загальна характеристика діалектики.

Пусть предприятие располагает ресурсами b₁,b₂,...,b_m, которые могут использоваться для выпуска n видов продукции. Известны нормы потребления j-го ресурса на производство единицы i-й продукции – a_ij , а также прибыль от реализации единицы i-го вида продукции c_i (i = 1, n; j = 1,m) . Найти объем производства продукции каждого вида x*_i, максимизирующий суммарную прибыль предприятия F(x) = ∑c_ix_i , при этом расход ресурсов не должен превышать их наличия. Математическая модель задачи имеет вид

max{F(x)=∑c_ix_i|∑a_jix_i≤b_j, j=1,m; x_i≥0, i=1,n} (3)

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

max{F(x)=∑c_ix_i|∑a_jix_i=b_j, j=1,m; x_i≥0}.

Под чувствительностью модели понимается зависимость оптимального решения от изменения параметров исходной задачи. Выполняя анализ модели на чувствительность, можно выяснить:

а) насколько можно увеличить запас некоторого ресурса, чтобы улучшить оптимальное значение F;

б) насколько можно сократить запас некоторого ресурса, чтобы сохранить при этом оптимальное значение F;

в) увеличение объёма какого из ресурсов наиболее выгодно;

г) какому из ресурсов отдать предпочтение при вложении дополнительных средств;

д) в каких пределах допустимо изменять коэффициенты целевой функции, чтобы не произошло изменение оптимального решения.

Ограничения, проходящие через точку оптимума, называются активными, или связывающими. Ресурсы, с которыми ассоциируются эти ограничения, относятся к разряду дефицитных. Остальные ресурсы недефицитны, а соответствующие им ограничения – неактивные или несвязывающие. Сокращение объема дефицитного ресурса никогда не улучшает значения целевой функции. Анализ на чувствительность придает модели динамичность, свойственную реальным процессам.

Сформулируем задачу, двойственную к рассматриваемой задаче рационального использования ресурсов. Пусть некоторая организация может закупить все ресурсы b_j , которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальные цены y*_j ( j = 1,m) на единицу этих ресурсов при условии, что покупатель стремиться минимизировать общую оценку ресурсов. При этом общая ценность ресурсов должна быть не меньше прибыли, которую может получить предприятие при организации собственного производства. Математическая модель задачи имеет вид

min{F(y)=∑b_jy_j|∑a_ijy_j≥c_i, i=1,n; y_j0, j=1,m} (4)

Пока прибыль предприятия (задача 3) меньше общей ценности ресурсов (задача 4), решение обеих задач будет неоптимальным. Оптимум достигается в случае, когда прибыль становится равной общей ценности ресурсов, т.е. max F(x) = min F( y) .

Пример 1. Построить двойственную задачу к следующей задаче, заданной в общей форме:

F(x) = 3x₁ + 2x₂ (min) ;

x₁ + x₂ ≤ 5

2x₁ - x₂ ≤ 3

x₁ + 0.5x₂ ≥2

x_1,2 ≥ 0

Приведем условие к стандартной форме (2). Так как требуется найти минимум целевой функции, то неравенства в системе ограничений должны быть вида ≥. Первое и второе неравенства умножим на (-1), тогда

Двойственная задача будет иметь 3 переменные, так как прямая содержит три ограничения. В соответствии с указанными выше правилами запишем двойственную задачу в виде

тогда условие A^Ty≤C примет следующий вид:

- y₁ - 2y₂ + y₃ ≤ 3

- y₁ + y₂ + 0.5y₃ ≤ 2

y₁≥0, y₂≥0, y₃≥0 .

Составим начальные симплекс-таблицы для прямой и двойственной задач (табл. 1 и 2).

Таблица 1

Таблица 2

В общем виде при минимизации F(x) в прямой задаче начальные симплекс-таблицы для прямой и двойственной задач можно представить в виде табл. 3 и 4.

Если в прямой задаче находится максимальное значение F(x) , то начальные симплекс-таблицы прямой и двойственной задач можно представить в виде табл. 5 и 6.

Список используемой литературы: